konvergenz von reihe

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06.11.2005, 16:05	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
konvergenz von reihe hallo, ich soll zeigen, dass: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty ~ \frac{1}{n^s} =\infty \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} s\leq 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty ~ \frac{1}{n^s} \end{eqnarray}$ ist konvergent für $\begin{eqnarray} s\geq 1 \end{eqnarray}$ wie gehe ich denn da am besten vor? edit: ok, den oberen teil habe ich, ich hab dabei das majorantenkriterium benutzt, und dass bekannt ist, dass die harmonische reihe divergiert, aber bei 2tens finde ich keine passende majorante
06.11.2005, 16:21	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn der Cauchysche Verdichtungssatz bekannt ist,kann man den auf beide Reihen anwenden und sofort schließen,wie das Konvergenzverhalten ist
06.11.2005, 16:24	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
bin auf der suche nach einer lösung heute schon auf den verdichtugnssatz gestoßen, leider ist er (noch) nicht bekannt
06.11.2005, 16:37	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} s>1 \end{eqnarray}$ ist die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{n=2}^{\infty}~n^{-s} \end{eqnarray}$ eine Untersumme des Integrals $\begin{eqnarray} \int_1^{\infty}~x^{-s}~\mathrm{d}x = \frac{1}{s-1} \end{eqnarray}$ . (Errichte über den Intervallen $\begin{eqnarray} [n-1,n] \end{eqnarray}$ ein Rechteck der Höhe $\begin{eqnarray} n^{-s} \end{eqnarray}$ .) Und $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}~n^{-s} \end{eqnarray}$ ist Obersumme dieses Integrals. Daraus erhält man sogar die Abschätzung $\begin{eqnarray} \frac{1}{s-1} \ \leq \ \sum_{n=1}^{\infty}~n^{-s} \ \leq \ \frac{s}{s-1} \end{eqnarray}$
06.11.2005, 16:50	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
wieso ist $\begin{eqnarray} \int_{1}^{\infty}~x^{-s}~dx =\frac{1}{s-1} \end{eqnarray}$ ? und woher bekommt man das $\begin{eqnarray} \frac{s}{s-1} \end{eqnarray}$ ? edit: achso du zählst eins dazu und bringst es auf selben nenner, oder?
06.11.2005, 16:51	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Standardverfahren - Stammfunktion - Grenzen einsetzen
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06.11.2005, 16:59	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
stammfunktion: $\begin{eqnarray} \int_{1}^{\infty}~x^{-s}~dx =[\frac{x^{1-s}}{1-s}]_{1}^\infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\lim_{x \to \infty} \frac{x^{1-s}}{1-s})-\frac{1}{1-s} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} \frac{x^{1-s}}{1-s}=0 \end{eqnarray}$ ? warum?
06.11.2005, 17:02	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil s>1 ist.Wenn dazu noch x gegen unendlich geht,dann geht alles gegen 0
06.11.2005, 17:04	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
man, bin ich ein depp, s ist ja größer 1, danke
06.11.2005, 17:10	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist natürlich ein eleganter Weg von Leopold.Warum beginnt die Summe oben aber nicht bei n=1,sondern bei n=2?
06.11.2005, 17:14	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
weils die untersumme ist, würde sie bei 1 beginnen hätten wir die obersumme wenn wir die streifen bei der summation genau 1 breit wählen dann ist die obersumme ja untersumme+1*f(1)
06.11.2005, 17:18	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt. gleich mal den Weg aufschreiben.Mit dem Cauchyschen Verdichtungssatz wird es später mal schneller gehen,wenn ihr den behandelt
06.11.2005, 19:08	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Man muss ja nicht unbedingt den Satz benutzen. Man kann ja auch, ohne das zu erwähnen, den Beweis nachspielen. Die Abschätzung kann einem auch einfallen, wenn man den Beweis noch nicht kennt. Das geht dann so: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{n^s} & = & 1+\left(\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}\right)+\left(\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{6^s}+\frac{1}{7^s}\right)+\ldots \\ & \leq & 1+2\cdot \frac{1}{2^s}+4\cdot \frac{1}{4^s}+\ldots=\sum_{n=0}^{\infty}~\left(\frac{1}{2^{s-1}}\right)^n \end{eqnarray}$ Das letzte ist eine geometrische Reihe, welche konvergiert. Gruß MSS

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