Beschränktheit nachweisen

06.11.2005, 16:27	CKYkicksass	Auf diesen Beitrag antworten »
Beschränktheit nachweisen Hey Leutz, hänge an einer Aufgabe und zwar: Gegeben ist die Zahlenfolge $\begin{eqnarray} a_{n} = \frac{4n-1}{n} \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} n \geq 1 \end{eqnarray}$ Aufgabe: Stellen Sie jeweils eine Vermutung über die Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz auf und weisen Sie diese drei Eigenschaften der Zahlenfolge $\begin{eqnarray} (a_{n}) \end{eqnarray}$ mathematisch exakt nach! Also meine Vermutungen sind: Monotonie: streng monoton steigend Beschränktheit: sowohl nach oben, als auch nach unten beschränkt Grenzwert: 4 okay meine Nachweise: Nachweis Grenzwert: $\begin{eqnarray} \frac{4n-1}{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mid \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{4-\frac{1}{n} }{1} \end{eqnarray}$ und da $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ Nullfolge ist, gilt: $\begin{eqnarray} \lim _{n \to \infty } 1 = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim _{n \to \infty } 4 = 4 \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} \frac{4-0}{1} \end{eqnarray}$ = 4 gut somit wäre der Grenzwert bewiesen. Hoffe, dass das soweit stimmt. Nachweis Monotonie: Für jedes $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} a_{n+1}- a_{n} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{4(n+1)-1}{n+1} \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} \frac{4n-1}{n} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{(4n+3) * n}{(n+1) * n} \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} \frac{(4n-1) * (n+1)}{n * (n+1)} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{4n²+3n}{n²+n} \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} \frac{4n²+3n-1}{n²+n} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{1}{n²+n}> 0 \end{eqnarray}$ -> Folge ist streng monoton ansteigend. Hoffe, dass das soweit stimmt. Nachweis Beschränkungen: Da die Folge ja streng monoton ansteigt, gilt: $\begin{eqnarray} a_{n+1}> a_{n} \end{eqnarray}$ somit ist $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ der kleinste Wert. Also ist $\begin{eqnarray} a_{1} = \frac{(41)-1}{1}=3 \end{eqnarray}$ die untere Schranke s. Gut, die müsste stimmen. Nur wie komme ich jetzt auf die obere Schranke? Durch den Grenzwert lässt sich die Vermutung aufstellen, dass die obere Schranke S = 4 sei. Aber wie lässt sich das mathematisch nachweisen? Ich habe keinen blassen Schimmer und wäre für Hilfe dankbar. Danke im Voraus
06.11.2005, 16:32	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
indem du einfach die Ungleichung $\begin{eqnarray} \frac{4n-1}{n}<Schranke \end{eqnarray}$ auflöst
06.11.2005, 16:43	CKYkicksass	Auf diesen Beitrag antworten »
mh erstmal danke für den Tipp: aber heisst das, dass ich jetzt 4 für die Schranke einsetzen soll - und wie löse ich dann die Ungleichung? $\begin{eqnarray} \frac{4n-1}{n}<4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mid n; +1 \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} 4n < 4n+1 \end{eqnarray*}$ oder anders? Sorry steh echt auffem Schlauch. DiV
06.11.2005, 16:47	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{4n-1}{n}= 4-\frac{1}{n}<4 \end{eqnarray}$ jetzt auflösen und du wirst sehen,dass eine wahre Ungleichung da stehen wird Deine Ungleichung stimmt auch.Ziehe noch 4n von 4n ab und da steht was wahres.
06.11.2005, 16:54	CKYkicksass	Auf diesen Beitrag antworten »
oh vielen Dank n! also: $\begin{eqnarray} \ 4-1<4n = \frac{3}{4}<n \end{eqnarray*}$ mh okay. Jetzt hab ich nach n aufgelöst, aber welche Aufschlüsse bringt mir das dann?
06.11.2005, 16:59	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
wie jetzt? Du hast jetzt folgendes gezeigt: Unter Verewndung der Schranke S=4 entsteht eine wahre Ungleichung,das heißt 4 ist in der Tat eine obere Schranke. Wählst du z.B. S=2 gäbe es keine wahre Ungleichung am Ende.Somit wäre S=2 keine Schranke. Das ist schon der Beweis
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06.11.2005, 17:02	CKYkicksass	Auf diesen Beitrag antworten »
oh okay n! Vielen Dank für die Hilfe und sorry für die Arbeit die ich gemacht hab =)

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