Wie bestimmt man Grenzwerte?

08.04.2004, 15:22

Sunshine

Wie bestimmt man Grenzwerte?

Hallo Leute,

kann mir jemand sagen, wie man aus einer Funktion einen Grenzwert(sofern vorhanden) bestimmt?

Für mich ist klar, daß z. B. bei f(x)= 1/x der Grenzwert 0 ist.

Ebenso verstehe ich, daß bei der Reihe 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + ... + 1/2^n der Grenzwert 1 sein soll. .

Aber wie berechnet man den Grenzwert bei z.B. y= x+2 / 2x-1 für x gegen unendlich?

oder bei

( 6 / 1-x) - (5+7x / 1-x^2) für x=1

Vielen Dank!

08.04.2004, 15:41

navajo

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08.04.2004, 15:51

sunshine

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hmm ich weiss garnicht obs da ne besitmmt vorgehensweise gibt..
bei dem y=(x+2)/(2x-1) würd ich so vorgehen dass ich sage, dass die +2 und die -1 bei x gegen undendlich eh nix mehr reissen, also kann man die auch weglassen:
y=x/2x , das x fällt weg und der grenzwert wäre y=1/2. (da ist mein taschenrechner sogar mit einverstanden ^^)

Was genau meinst Du mit "die +2 und die -1 bei x gegen undendlich eh nix mehr reissen, also kann man die auch weglassen:"

Das verstehe ich nämlich nicht.

08.04.2004, 16:03

johko

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Zitat:

Für mich ist klar, daß z. B. bei f(x)= 1/x der Grenzwert 0 ist.

das ist doch schon mal die halbe Miete .. smile

Hier ein allgemeines Beispiel:
$\begin{align*} \lim_{x \to oo} \frac{(a*x^3+b*x^2+c*x+d)}{(e*x^3+f*x^2+g*x+h)} \end{align*}$

1.Schritt: In Zähler und Nenner jeweils die höchste Potenz ausklammern und danach gegenseitig kürzen

$\begin{align*} \lim_{x \to oo} \frac{x^3*(a+b/x+c/x^2+d/x^3)}{x^3(e+f/x+g/x^2+h/x^3)} \end{align*}$ =

$\begin{align*} \lim_{x \to oo} \frac{(a+b/x+c/x^2+d/x^3)}{(e+f/x+g/x^2+h/x^3)} \end{align*}$

Wenn 1/x --> 0 für x--> oo gilt, dann gilt das erst recht für alle 1/x^n.
Folglich streben alle Brüche in den Klammern gegen 0, und es bleibt a/e als "Grenzwert" übrig.

Hierbei galt: Grad des Zählers = Grad des Nenners.
Dies ist einer von drei möglichen Fällen.
Die beiden anderen:
Ist im Zähler die höchste Potenz (Grad genannt) höher als im Nenner, bleibt oben ein x^(irgendwas) stehen. Der Ausdruck hat demnach keinen Grenzwert, sondern strebt gegen +oo oder - oo.(weil in der Klammer "+1" oder "-1" rauskommt)
Ist der Grad des Nenners grösser, bleibt oben die 1 und unten ein
x^(irgendwas) stehen. Damit ist der Grenzwert nach deinen obigen Einsichten O.

Zum Grenzwert an einer Lücke später mehr.

08.04.2004, 16:28

johko

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Grenzwert an einer Lücke:
Beispiel -rechtsseitiger GW:

$\begin{align*} \lim_{x \to 2^+} \frac{x^2-3*x+2}{x-2}= \end{align*}$

$\begin{align*} \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2-3*(x+h)+2}{(x+h)+2}= \end{align*}$
(Beim linksseitigen GW muss es jeweils (x-h) lauten!)

An der Stelle x = 2 bedeutet das nach entsprechender Auflösung:

$\begin{align*} \lim_{h \to 0} \frac{2^2+2*2*h+h^2-3*2-3*h+2}{2+h+2} \end{align*}$

$\begin{align*} \lim_{h \to 0} \frac{4*h+h^2-3*h}{h} \end{align*}$

Wenn sich jetzt bei einer dieser gebrochen rationalen Funktionen nicht h oben ausklammern und vollständig gegen das untere h wegkürzen lässt, war die Rechnung falsch:
So ergibt sich als Grenzwert 1.

Zum Prinzip der gebrochen rationalen Funktionen siehe mehr auf meiner HP
http://www.koproduktionen.de/polynom.htm

gruss johko

EDIT by sommer87: Bitte denk drann, keine Doppelposts zu machen!! Augenzwinkern

EDIT BEI ANDY: Es sind 2 völlig unabhängige Themen, die man ruhig in 2 Posts packen kann...also nicht zu pingelig an die Sachen gehen smile

10.04.2004, 14:03

Sunshine

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Hallo.

Vielen Dank für die Hinweise zur Grenzwertberechnung. Das konkrete Beispiel habe ich verstanden. (Vielleicht auch nicht ...)

Nun habe ich versucht, bei folgender Gleichung den Grenzwert zu bestimmen:

lim für n -> oo Sn= a^3 /6 * (1-1/n) (2-1/n)

Du hast ja geschrieben, wenn im Zähler die höchste Potenz vorhanden ist, habe die Funktion keinen
Grenzwert, sondern strebe gegen +oo oder -oo.

In diesem Beispiel soll die Funktion aber den Grenzwert a^3/3 haben.

Was habe ich da nicht richtig verstanden?

10.04.2004, 14:04

Deakandy

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Die Gleichung hast du doch gerade erst in einen anderen Thread gepackt...

10.04.2004, 15:09

navajo

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Zitat:

Für mich ist klar, daß z. B. bei f(x)= 1/x der Grenzwert 0 ist.

für 1/n gilt offensichtlich dasselbe also werden da für n gegen unendlich nullen raus:

a^3 /6 * (1-1/n) (2-1/n)=a^3 /6 * (1-0) (2-0)=a^3 /6 * 1 * 2=a^3 /3

10.04.2004, 15:33

Deakandy

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lim für n -> oo Sn= a^3 /6 * (1-1/n) (2-1/n)

Versuche mal mit dem Formeleditor zu arbeiten...sieht doch hübscher aus oder?
$\begin{align*} \lim_{n \to \infty}~{\frac {a^3} {6(1-\frac {1} {n})(2-\frac {1} {n})} = \end{align*}$
Nach den Limitenregeln
$\begin{align*} \frac {\lim_{n\to \infty}~{a^3}} {\lim_{n \to \infty}~{6(1-\frac {1} {n})(2-\frac {1} {n})}} \end{align*}$
$\begin{align*} \frac {a^3}{6\cdot \underbrace{\lim_{n\to \infty}~{(1-\underbrace{\frac {1} {n})}_{0}}}_{1}\cdot \underbrace{\lim_{n\to \infty}~{(2-\underbrace{\frac {1} {n}}_{0})}}_{2}} \end{align*}$

$\begin{align*} =\frac {a^3} {12} \end{align*}$
Naja nun weiß ich auch warum ich nicht auf das richtige Ergebnis gekommen bin... Habe eine andere Aufgabe bei dir interpretiert
Naja
Funzt vom gleichen Prinzip traurig

10.04.2004, 15:53

navajo

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$\begin{align*} \frac{a^3}{6}(1-\frac{1}{n})(2-\frac{1}{n}) \end{align*}$
$\begin{align*} \frac{a^3}{6}(1-0)(2-0) \end{align*}$
$\begin{align*} \frac{a^3}{6}\cdot 2\cdot 1 \end{align*}$
$\begin{align*} \frac{a^3}{3} \end{align*}$

so besser? :P hmm naja die lim fehlen ^^
du hast die n-therme im nenner gehabt anstatt im zähler
EDIt:Hmm naja mir gefallen die Multiplikationsoperatoren nicht smile

kannste schöner mit \cdot machen
Dir und allen anderen ein schönes Osterfest

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