Eulersche Zahl e

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StyleWars Auf diesen Beitrag antworten »
Eulersche Zahl e
Hallo!
Also ich hab ein problem! Und zwar, ich schreibe eine Facharbeit im Grundkurs mathematik über die Eulersche zahl e..
joa, jetzt steh ich da son bisschen verlassen..ich soll erklären wie Euler an die zahl e gekommen ist! meine lehrerin hat gesagt ich könnte das mit den Exponentialfunktionen erklären..
kann mir von euch da vielleicht jemand helfen? wäre echt nett!!
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

hm...mal im Gedächtnis kramen...

also:
Unser Lehrer hat uns folgendes Beispiel gegeben:

Wenn wir auf einer Bank ein Konto haben, gibt uns die Bank Zinsen pro Jahr...
wenn eine andere Bank sagt, sie würde jedes halbe Jahr Zinsen geben, hat man nach einem Jahr mehr auf dem Konto, also wechselt man zur anderen Bank.
Da denkt sich Bank 1, wenn ich jedes viertel Jahr Zinsen gebe, kriegt er noch mehr und sie kriegt den Kunden wieder...

um so kleiner die Intervalle also werden, wie die Bank die Zinsen gibt, um so höher werden die Zinseszinsen und um so höher ist der Betrag nach einem Jahr...

wenn man das Interval nun unendlich klein macht, so dass praktisch eine momentane Zinserhöhung eintritt, also andauernd die Zinsen berechnet werden, ist der endgültige Betrag nach einem Jahr sehr gross.

Und wenn man das jetzt irgendwie mit Exponetialfunktionen beschreibt, steckt da irgendwo die Zahl e...ich weiss aber nicht mehr genau wo Augenzwinkern

Wie Euler das herausgefunden hat, weiss ich nicht...

mfg
 
 
DeGT Auf diesen Beitrag antworten »

Moin Stylewars,
Welche Vorkenntnisse hast Du denn überhaupt über (natürliche) Exponentialfunktionen?
Grundlagen dazu kannst Du dir auf jeden Fall
hier nachlesen ansehen.

Sonst einfach weiter fragen smile
StyleWars Auf diesen Beitrag antworten »

also ich muss da alles erklären..erstmall die Zahl e ansich und dann die E-Funktion..
also das die e-funktion keine Nullstellen hat, Keine Extreme/Wendepunkte..
e abgeleitet e ergibt..<- das ja das wichtigste, weil deshalb gibts ja auch keine Extremepunkte.

mh.. ich weiss nicht, ich steh da irgendwie aufm schlauch son bisschen unglücklich
BlackJack Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, wir haben die eulersche zahl einfach so definiert:



d.h. wir haben von 1/x das integral gebildet mit der unteren grenze 1, und dann haben wir die obere grenze einfach so verschoben, dass als flächeninhalt 1 rauskam. und das ist genau dann der fall, wenn die obere grenze e ist.

und einen beweis, warum gilt, gibt es hier:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=2336&sid=
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

bist du dir mit dem Link sicher?
Der führt bei mir auf diese Seite...

mfg
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Deakandy

Ich meine sowas in der ARt war gemeint ne?
Naja nun aber WEg
Andy
BlackJack Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steve_FL
bist du dir mit dem Link sicher?
Der führt bei mir auf diese Seite...

boah, was soll den der scheiss? in dem link, den ich gepostet habe, steht doch eine ganz andere postid als in diesem thread hier?!?
aber auch egal. deakandy hat schon den beweis gepostet, den ich meinte. :]
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

seltsam...bei mir hat er die genau gleiche ID angezeigt, wie bei diesem Thread...
keine Ahnung wieso... unglücklich verwirrt

mfg
StyleWars Auf diesen Beitrag antworten »

hi, erstmal vielen dank für eure ganze hilfe, aber irgendwie bringt mich das nicht viel weiter =(...
das selbe hab ich schonmal meinem lehrer präsentiert, doch das zu "hoch"..der will was sehen, das von mir durchgearbeitet worden ist...! mhh..

------------------------------------------------------------------------------------------------------


also ableitung von e lässt sich vielleicht so erklären indem ich z.B. ableitung von exponentialfunktionen erklä wie 2 hoch x dann eine werte tabelle... dann kommt heraus wenn man f(x) * 0,7 nimmt kommt F'(x) heraus..und so halt immer näherungsweise herankommt umso schlielich auf e kommt?

EDIT by sommer87: Bitte keine Doppelposts. EDIT nutzen!!
MatheBlaster Auf diesen Beitrag antworten »

Die eulersche Zahl ist . Keine Ahnung, ob das irgendwie weiter hilft, aber so kenne ich die Zahl.



Edit: in Farbe und buuunt
DarkMathes Auf diesen Beitrag antworten »

Warum die Ableitung von eben selbiges wieder ergibt, lässt sich auch anders (und in meinen Augen leichter) beweisen.

Es sei

Bilden wir den natürlichen Logarithmus, erhalten wir:


Nun leiten wir auf beiden Seiten ab und erhalten:


Und letztendlich:


Ich hoffe, jeder weiß, dass ist smile

mfG
DarkMathes
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

... bliebe nur noch zu beweisen, dass die Ableitung von ln(x)
(ln(x))' = 1/x ist.

Das beweisen 'wir' dann mit der Ableitungsregel für Umkehrfunktionen. Augenzwinkern

verwirrt
movarian Auf diesen Beitrag antworten »

Oft wird definiert
ln:x-> int[1;x] 1/t dt x>0
und damit ist es auf Grund der Stetigkeit von x -> 1/x sofort klar, dass
(ln(x))'=1/x sein muss.
exp wird dann erst als Umkehrfunktion zu ln definiert und damit ist der Beweis von DarkMathes ok.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zauberei ?

Dann bleibt es eben den Exponentialcharakter jener UmkFkt E(x) mit
E(x)= 'invln'(x) nachzuweisen

und zu zeigen, dass E(x)=e^x ist.


Ist dieser Sachverhalt gegebene Vorraussetzung, dann ist der
Beweis über die Kettenregel allerdings korrekt.
...
StyleWars Auf diesen Beitrag antworten »

hey, 1000 dank, das hilft mir schonmal sehr weiter =)...

weiss jetzt noch einer wie genau er auf die zahl e gekommen ist? das wäre meine rettung =)..!?
Gnu Auf diesen Beitrag antworten »

http://www.mathe-online.at/mathint/log/i...n_Exkurs_e.html

- Da steht ein wenig was, aber is größtenteils alles was man mit der Zahl macht, also nix von Entstehungsgeschichte....evtl. hab ich da aber in nem Buch was, werd mal nachsehen...
DarkMathes Auf diesen Beitrag antworten »

Hab was gefunden, aber zu faul, es durchzusuchen *gg*
Habs aber geupped:

www.balumunka.de/mathe/eulersche_zahl.pdf

Da, bitte sehr, schauts euch selber durch smile

Greets
Mathes
Thrasíl Auf diesen Beitrag antworten »

also mal zu dem graphen, das ist wohl eher ln(x), oda? ^^ die e^x funktion ist in die andere richtung gekrüummt... nun zu deinem problem:

man hat ein kapital K_0 auf der Bank liegen und dieses Kapital wird nun zu 100% im Jahr verzinst. dann hast du nach einem Jahr K = K_0 * (1 + 1)^1 = 2.......

(hoch 1 ist die anzahl der zinsperioden)

lässt du dir jetzt aber halbjährlich die Zinsen ausschütten und diese Zinsen weiterverzinsen dann hast du am Ende des Jahres K = K_0 * (1 + 1/2)^2 = 2,25

das kann man so weiterführen, und wenn man dann die Ausschüttung der Zinsen momentan vornimmt (also in jedem Augenblick) dann hast du einen Grenzwert (limes) der gegen unendlich strebt. Setzt man das jetzt ein erhält man:

K = lim(n-->unendlich) K_0 * (1 + 1/n)^n = 2,71..... = e

(mit dem editor kenn ich mich leider nich aus, also verzeihung für die "primitiven" mathematischen dinger ^^)
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

DA wird sich der Threadsteller nach satten 4 Jahren aber freuen!

mY+
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