dgl n-ter Ord. , brauch hilfe

06.11.2005, 21:35

Falter

dgl n-ter Ord. , brauch hilfe

Hallo,
bin neu hier und schon brauch ich Hilfe:

es geht um einer DGL n-ter Ordnung

u^(n) (t)= t^2
mit u^(0)=a_k für k€(0,1,...,n-1)

Ich soll die Lösung berechnen. Gedanken habe ich schon gemacht. Soll, meiner Meinung nach, erst in DGL 1.Ordnung umwandeln. Aber dann? Und noch wie?

Meine erste Schritte:

F:= (u^(n-k))
F':= (u^(n-k+1))

da bleibt es schon stehen... Hilfe

EDIT: sorry, verschrieben soll u^(0)=a_k heißen, habe aber schon geändert!!!

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bitte, bitte, bitte... traurig

edit (AD): Pushposts bitte unterlassen!

06.11.2005, 22:25

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Du musst doch einfach nur n-mal integrieren, und bei jedem dieser Integrationsschritte die Integrationskonstante so wählen, dass die zugehörige Anfangsbedingung erfüllt ist.

Dabei gehe ich davon aus, dass du mit

Zitat:

Original von Falter
u^(n) (t)= t^2
mit u^(0)=a_k für k€(0,1,...,n-1)

folgendes meinst:

$\begin{eqnarray*} u^{(n)}(t) = t^2 \end{eqnarray*}$ mit den Anfangsbedingungen $\begin{eqnarray*} u^{(k)}(0) = a_k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\in\{0,1,\ldots,n-1\} \end{eqnarray*}$

06.11.2005, 22:35

Falter

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Ja, das meine ich....

hmmm, was du meinst kann ich mir vorstellen, nur wie ich n-mal integrieren soll? Oder wie das mathematisch vorgegangen wird? ich werde doch nicht jetzt von Hand n-mal t^2 integrieren.
Bitte erklären, am besten mit Rechnung.

06.11.2005, 22:45

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Doch, genau so. Das Integrieren an sich ist kein Problem, sind alles nur Polynome.

Du musst dir nur überlegen, wie du das geschickt aufschreibst!

06.11.2005, 22:58

Falter

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ja, also der Haupttherm(mit höchster Potenz) sieht dann so aus
1/(2*SUMME(m))*t^(2+m) wo m=(1,2,...,n) und dann kommen alle Konstanten mit deren Integrationen. Komme aber nicht weiter....
Scheint für mich schwer zu sein.

06.11.2005, 23:23

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Ich fang mal an mit den ersten Schritten:

$\begin{eqnarray*} u^{(n-1)}(t) = u^{(n-1)}(0) + \int\limits_0^t ~ u^{(n)}(z) ~ \mathrm{d}z = a_{n-1} + \int\limits_0^t ~ z^2 ~ \mathrm{d}z = a_{n-1} + \frac{t^3}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u^{(n-2)}(t) = u^{(n-2)}(0) + \int\limits_0^t ~ u^{(n-1)}(z) ~ \mathrm{d}z = a_{n-2} + \int\limits_0^t ~ a_{n-1}+\frac{z^3}{3} ~ \mathrm{d}z = a_{n-2} + a_{n-1}t+\frac{t^4}{3\cdot 4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u^{(n-3)}(t) = u^{(n-3)}(0) + \int\limits_0^t ~ u^{(n-2)}(z) ~ \mathrm{d}z = a_{n-3} + \int\limits_0^t ~ a_{n-2}+a_{n-1}z+\frac{z^4}{3\cdot 4} ~ \mathrm{d}z = \frac{a_{n-3}}{0!}+\frac{a_{n-2}}{1!}t + \frac{a_{n-1}}{2!}t^2+\frac{2t^5}{5!} \end{eqnarray*}$

Ganz rechts in der letzten Zeile hab ich schon mal ein paar Winke mit dem Zaunpfahl untergebracht. Wink

06.11.2005, 23:38

Falter

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Verstehe nicht: "ein paar Winke mit dem Zaunpfahl"

Die Rechnung kann ich nachvollziehen, bis zum letzten Gleichheitszeichen.
Und wie man auf die Gleichung gleich am Anfang kommt ist mir noch unklar.
Wieso multiplizirst du im Integral u^(n) mit t^2. Vielleicht muss das sein. Aber gecheckt habe ich doch nicht ganz...

edit: geht es nicht irgendwie anders? leicher? verwirrt

06.11.2005, 23:47

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Zitat:

Original von Falter
Wieso multiplizirst du im Integral u^(n) mit t^2.

Wo tu ich das? Nirgendwo! Ich setze nur u^(n) ein, wie es sich gehört!

Zitat:

Original von Falter
edit: geht es nicht irgendwie anders? leicher? verwirrt

Undank ist der Welt Lohn. Na egal. Augenzwinkern

Gute N8

06.11.2005, 23:53

Falter

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Sei bidde nicht böse, ich verstehe die Aufgabe von hinten bis vorne nicht.
Dachte einfach, dass vielleicht noch andere Möglichkeit gibt die Aufgabe zu rechnen. Aber danke natürlich!!!
Wenn du die Lösung schon im Kopf hast würde ich die gerne erfahren, dann versuche ich irgendwie von der Lösung die Aufgabe zu nachvollziehen!

edit: Hab verguckt mit der Multiplikation. Ich dachte z ist bei dir t^2

07.11.2005, 07:44

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Klar geht es leichter: Ich werf dir den Brocken

$\begin{eqnarray*} u(t) = \sum_{k=0}^{n-1} ~ \frac{a_k}{k!}t^k ~ + ~ \frac{2}{(n+2)!}t^{n+2} \end{eqnarray*}$

hin, den ich als Mathematiker nach kurzem scharfen Ansehen der Dgl gesehen habe. Aber ob du das besser verstehst, als durch langsames geduldiges Heranführen wie oben, sei mal dahingestellt.

Seriöserweise wird man das mit Schritten wie oben, aber aufgeschrieben im Rahmen einer Vollständigen Induktion nachweisen.

07.11.2005, 23:17

Falter

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Ach sooo geht es! Big Laugh

Ich wusste es, du hast es drauf!

Warum hast du mir die Gleichung nicht früher gesagt?
Ja, dann ist es easy! Prost

Nur eine kleine Frage habe ich an dich: kannst du mir den Sinn für jede Variable in der Gleichung erklären und wieso man unbdeingt diese Gleichung verwendet? verwirrt

Merci

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