kniffliger Ausdruck

07.11.2005, 21:55	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
kniffliger Ausdruck Beim bearbeiten einer Aufgabe hatte ich vor mir aufeinmal folgende Tatsache stehen: $\begin{eqnarray} \frac{\sum_{k=1}^\infty~2^{n-2k}}{2^{n+2}} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ wäre echt gut, wenn jemand mir erklären könnte warum das so ist - kann man das überhaupt berechnen - ich weiß nicht, wie man den Grenzwert einer Summe berechnen soll... viel Spaß damit
07.11.2005, 22:09	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein wenig Potenzgesetze, und schwupps... links steht nur noch eine geometrische Reihe.
07.11.2005, 22:11	papahuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab das mal nachgerechnet, und Maple gibt mir Recht, dass da nicht 1/3 rauskommt.
07.11.2005, 22:26	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. Vielleicht startet die Summe ja bei k=0 statt bei k=1.
07.11.2005, 23:21	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben
08.11.2005, 09:10	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt - sht - die summe startet bei 0. Es geht darum, dass ich ein Intervall I1 habe mit I1=[0,1]. Dann ist das nächste Intervall I2 das linke Halbintervall von I1. I3 ist das rechte Halbintervall von I2. I4 ist das linke Halbintervall von I3... usw. also eine Intervallschachtelung, bei der es ja irgendwann nur noch ein Element gibt, dass allen Intervall angehört. jetzt hab ich rausbekommen, dass das in Dualschreibweise folgender Zahl entspricht: 0,10101010101010... und wenn man das in Dezimalschreibweise ausdrückt ist es 1/3. schaut man sich an, wie sich die Grenzen ändern kommt man auf folgendes Bild: $\begin{eqnarray} \frac{1}{4}/ \frac{2}{4} => \frac{2}{8}/\frac{3}{8} => \frac{5}{16}/\frac{6}{16} => \frac{10}{32}/\frac{11}{32} => \frac{21}{64}/\frac{22}{64} => \frac{42}{128}/\frac{43}{128}... \end{eqnarray}$ der Nenner entspricht also $\begin{eqnarray} 2^n \end{eqnarray}$ und der Zähler ist folgendermaßen aufgebaut. Einer der Zähler ist die Summe der vorangehenden Zähler des letzten Intervalls. Und der andere Zähler ist alternierend eins mehr oder eins weniger. Ich habe jetzt versucht diese Summenentwicklung in eine Formel zu packen... also 1+2=3 2+3=5 5+6=11 10+11=21 usw. und bin dabei auf folgende Formel gekommen, die ja dann im Zähler stehen müsste: $\begin{eqnarray} 2^n + x1 \end{eqnarray}$ mit x1 = $\begin{eqnarray} 2^{n-2} + x2 \end{eqnarray}$ mit x2 = $\begin{eqnarray} 2^{n-4} + x3 \end{eqnarray*}$ mit x3 = ... usw. und das habe ich dann in die obenstehende Formel gepackt... aber, kann mir jemand mal zeigen, wie ich diese Formel in 1/3 umwandeln soll?
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08.11.2005, 10:03	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie immer finde ich es schade, wenn meine Tipps ("Potenzgesetze") ignoriert werden: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty ~ 2^{n-2k} = 2^n ~ \sum_{k=0}^\infty ~ \left(2^{-2}\right)^k = 2^n ~ \sum_{k=0}^\infty ~ \left(\frac{1}{4}\right)^k \end{eqnarray}$
08.11.2005, 15:40	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
mit erneutem Blick in mein Tafelwerk stand da endlich die Formel nach der ich gesucht hatte... - ich wusste nicht, wie man eine unendliche Summe berechnet... - aber jetzt hab ich raus, dass es wirklich 1/3 ist. Danke...

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