supremum/infimum |
| 08.11.2005, 13:23 | Krümel | Auf diesen Beitrag antworten » |
| supremum/infimum Ich hab ganz dolle Probleme mit den Beriffen Supremum, Infimum, Maximum sowie Minimum. Im Moment sind das alles nur irgendwelche Definitionen für mich, die ich nicht geordnet bekomme. Speziell geht es um diese Aufgabe: Geben sie ggf. sup M, inf M, max M bzw. min M für folgende Mengen M an: 1. M := (3,4) 2. M := { x Q : x < } 3. M := ( \ {0}) Durchschnitt Q Nun sitz ich hier und weiß eigentlich gar nicht so recht wie ich anfangen soll. Hab nun versucht mit der Wikipedia Definition zu arbeiten. Ist M eine halbgeordnete Menge und T eine Teilmenge von M so gilt: Ein Element b heißt obere Schranke von T, wenn für alle x in T gilt: b x Ein Element b heißt untere Schranke von T, wenn für alle x in T gilt: bx Ein Element b heißt Supremum von T, wenn b die kleinste obere Schranke von T ist, d.h. wenn b obere Schranke ist und kleiner ist als alle anderen oberen Schranken von T. Ein Element b heißt Infimum von T, wenn b die größte untere Schranke von T ist, d.h. wenn b untere Schranke ist und größer ist als alle anderen unteren Schranken von T. Ist T nach oben beschränkt und liegt das Supremum von T in T, dann bezeichnet man es auch als Maximum von T, in Zeichen max(T). Ist T nach unten beschränkt und liegt das Infimum von T in T, dann bezeichnet man es auch als Minimum von T, in Zeichen min(T). Für Aufgabe 1 hab ich mir jetzt überlegt, dass die Menge ja sowohl nach oben (4)als auch nach unten(3) beschränkt ist. Das wären dann auch mein sup und mein inf. Aber sowohl das Supremum als auch das Infimum liegen doch in der Menge oder? Dann hat man somit ein max M = 4 und ein min M = 3 ??? Wie ihr seht hab ich das nicht sonderlich toll verstanden und wäre über Hilfe super Dankbar... 
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| 08.11.2005, 13:27 | brunsi | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: supremum/infimum was willst denn du wissen? musst deine frage präzisieren. sonst verweise ich auf www.wikipedia.com |
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| 08.11.2005, 23:28 | Sheli | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bei M:=]3,4[ ist das ein offenes Intervall, also hat man da kein Max.bzw Min, weil 3 und 4 ja nicht Elemente der Menge sind...also: sup(M)=4 und inf(M)=3 Bei 2. hab ich sup(M)=, da die Menge ja nur nach oben beschränkt ist...wobei xQ Bei 3. hab ich nur inf(M)=0. Das ist ja eigentlich nur die Menge der pos. reellen Zahlen geschnitten mit den rationalen Zahlen...und da Q ist Teilmenge von R, kann man doch einfach das "Durchschnitt Q" weglassen....und dann bleibt nur: x>0,für x aus R und da ist inf(M)=0..... so würd ich das zumindest machen..... |
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| 08.11.2005, 23:57 | Sheli | Auf diesen Beitrag antworten » |
@Krümel Hast du schon zu den anderen aufg. was? Ich noch gar nichts, komm diesmal gar nicht in die gägne..... |
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| 09.11.2005, 07:56 | Krümel | Auf diesen Beitrag antworten » |
Guten morgen!!! Danke erstmal für deine Antwort. Bei 2. versteh ich warum du von einem nach oben beschränktem Intervall sprichst. Aber bei 1 war/ist das für mich absolut unklar. Hört sich sehr logisch an, aber vielleicht kannst ja nochmal erklären warum das ein offener Intervall ist. Bis jetzt hab ich auch noch nicht mehr. Hab Aufgabe 2a/b in Sonstiges stehen. Lieg krank im Bett und bekomm deshalb sowie so nicht sonderlich viel hin. Werd hier noch die ein oder andere Aufgabe reinstellen und morgen bekomm ich dann nochmal von jemandem Hilfe, damit ich überhaupt auf 50% komme. Stell das dann entsprechend hier rein. Mit meinem Kopf bin ich aber grad nicht wirklich zu gebrauchen... Also denn man schreibt sich *g*. |
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| 09.11.2005, 09:19 | Cyrania | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das ganze ist gar nicht so schwer, wie man denkt, allerdings ist die erste Menge sehr komisch geschrieben. Sieht aus, als wenn sie nur aus der Kommazahl 3,4 besteht. Was soll die erste Menge sein? M={(3,4)} ein Element 3,4 M=[3;4] geschlossenes Intervall von 3 bis 4 M=]3,4[ offenes Intervall von 3 bis 4 M={3;4} zwei Elemente - nämlich nur 3 und 4 |
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| 09.11.2005, 09:54 | Krümel | Auf diesen Beitrag antworten » |
@Cyrania Irgendwie komm ich bei deinem Beitrag nicht wirklich mit. 
Du meinst ja, dass es nicht so schwer ist, wie es aussieht. Dieses Gefühl hab ich leider noch nicht. Du hast ja die ganzen verschiedenen Varianten aufgeschrieben und ich dachte, dass es sich um die letzte handelt. Wobei wie du ja siehst in der Aufgabenstellung keine Mengenklammern angegeben sind. Deshalb weiß ich auch immer noch nicht, wie genau man die Antwort in diesem Fall rausfindet. Was sagst du denn zu den anderen Antworten von Sheli??? Diese finde ich sehr einleuchtend... |
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| 09.11.2005, 10:07 | Cyrania | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zu 2) Die Menge besteht aus allen rationalen Zahlen, welche kleiner als Wurzel2 sind. Wurzel2 ist aber eine reelle Zahl gehört also nicht dazu. Die Menge hätte viele obere Schranken, z.B. 2 oder 3 oder 4, aber nur eine kleinste obere Schranke, nämlich Wurzel2. Wurzel2 ist aber nicht Element der Menge. So, hat die Menge nun ein Maximum? Das heißt, ich könnte ein größtes Element der Menge angeben. Und weil ich das nicht kann, hat diese Menge das Sup Wurzel2 aber kein Maximum. Nach unten hin ist alles offen, also hat die Menge weder ein Infimum noch ein Minimum, es sei denn man lässt "-Unendlich" als Angabe zu. Zu 3) Die Menge enthält alle positiven Zahlen, die sowohl rational als auch Reell sind, also zB. 1/3 1/4 4/5 aber nicht pi oder e oder wurzel3. 0 gehört nicht zur Schnittmenge, wäre aber größte untere Schranke, also nicht Minimum (weil nicht Element), aber Infimum. Zu 1) benötige ich nicht "ich denke, dass" sondern es ist so.... 
Es kann sich nämlich auch noch um das Zahlentupel (3,4), also eine einelementige Menge handeln. Das Tupel wäre dann geordnet. |
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| 09.11.2005, 11:10 | Sheli | Auf diesen Beitrag antworten » |
ja, bei zwei hatte ichs auch falsch hingeschrieben..ich hab nämlich gesagt, dass man "Durchschnitt Q" einfach weglassen und die Menge x>0,für x aus R betrachten kann. Das ist natürlich nicht richtig, denn wenn man Q und die positiven reellen Zahlen schneiden läsen, dann ergibt das die Menge aller positiven Q \ {0}..... Gute Besserung Krümel!! 
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| 09.11.2005, 15:38 | Cyrania | Auf diesen Beitrag antworten » |
@Sheli Bei 3 - nicht bei 2
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