affine abbildungen - punkt konstruieren

08.11.2005, 15:13	KimmeY	Auf diesen Beitrag antworten »
affine abbildungen - punkt konstruieren eine Affine Abbildung bildet O(0/0) auf O'(2/1), E(1/0) auf E'(4/2) und F(0/1) auf F'(3/3) ab. Konstruiere das Bild der Punkte P(1/1), Q(0,5/1) und R(1,5/1,5). Hilfe... wir haben das erst neu angefangen und ich war die letzten 2 stunden wegen ner physikklausur net da. Mein problem hierebei: wie fange ich an??? wir haben das letzte mal mit ner fixpunktgerade gemacht und das beispiel im buch beinhaltet auch nur ein beispiel mit fixpunktgeraden... das ist ja leicht aber hier ohne fixpunktgerade^^ ich weiß nur dass ich über parallelentreu und teilverhältnistreue gehen muss......... danke
08.11.2005, 16:43	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Spontan würde ich Folgendes sagen: Geraden werden auf Geraden abgebildet und Teilverhältnisse bleiben erhalten. Betrachte die Gerade $\begin{eqnarray} OP \end{eqnarray}$ . Sie schneidet die Strecke $\begin{eqnarray} EF \end{eqnarray}$ in der Mitte. Also muß auch die Gerade $\begin{eqnarray} O'P' \end{eqnarray}$ die Strecke $\begin{eqnarray} E'F' \end{eqnarray}$ in der Mitte schneiden. Damit kannst du die Gerade $\begin{eqnarray} O'P' \end{eqnarray}$ zeichnen. $\begin{eqnarray} P' \end{eqnarray}$ muß nun irgendwo auf ihr liegen. Jetzt Szenenwechsel (Ändern der Blickrichtung): Die Gerade $\begin{eqnarray} EF \end{eqnarray}$ schneidet die Strecke $\begin{eqnarray} OP \end{eqnarray}$ in der Mitte. Also muß auch die Gerade $\begin{eqnarray} E'F' \end{eqnarray}$ die Strecke $\begin{eqnarray} O'P' \end{eqnarray}$ in der Mitte schneiden. Damit liegt die Position von $\begin{eqnarray} P' \end{eqnarray}$ auf der Geraden $\begin{eqnarray} O'P' \end{eqnarray}$ eindeutig fest. Mit Matrizen geht das übrigens ganz schnell (aber ich weiß nicht, ob ihr das schon hattet): Ist $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ die gesuchte affine Abbildung, so ist die Abbildung (Vektoren als Ortsvektoren aufgefaßt) $\begin{eqnarray} \vec{x} \mapsto \alpha(\vec{x}) - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ linear (denn sie bildet den Nullvektor auf sich selbst ab). Da diese Abbildung die Einheitsvektoren $\begin{eqnarray} \vec{e} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \, , \ \vec{f} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \, , \ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ abbildet, hat sie die Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Somit gilt: $\begin{eqnarray} \alpha(\vec{x}) \ = \ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
08.11.2005, 20:49	KimmeY	Auf diesen Beitrag antworten »
danke das mit der mitte konnte ich nicht ganz so gut sehen.. ne, matrizen hatten wir leider noch nicht, das ist das nächste was kommt

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