Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung durch Induktion

08.11.2005, 15:39	hallo	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung durch Induktion Hi, ich bin noch nicht angemeldet, sondern zur Zeit nur Besucher. Ich habe erst dieses Semester mit dem Studium begonnen. Nun habe ich hier eine Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme. Ich soll die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung mit vollständiger Induktion beweisen. $\begin{eqnarray} (\sum_{i=1}^n~a_{i}b_{i})^2 \leq \sum_{i=1}^n~a_i^2 \sum_{i=1}^n~b_i^2 \end{eqnarray*}$ Der Induktionsanfang für n=1 und die Induktionsvoraussetzung ist mit klar. Aber beim Induktionsschritt komme ich nicht weiter. Ich komme nicht so weit, um zu zeigen, dass die Behauptung auch für (n+1) gilt. Vielleicht kann mir jemand helfen. Danke!!!
09.11.2005, 19:24	IchDerRobot	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo hallo, ich kenne keinen direkten Beweis der CSU mittels vollständiger Induktion. In der Wikipedia stehen mehrere Beweisideen, von denen ich aber nur die letzte kenne: Die Abbildung, die den Vektoren $\begin{eqnarray} a = (a_i) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b = (b_i) \end{eqnarray}$ die Summe $\begin{eqnarray} \langle a, b\rangle := \sum_{i=1}^n a_i b_i \end{eqnarray}$ zuordnet, ist ein Skalarprodukt des R^n (das kann man teilweise mit vollständiger Induktion zeigen). Dann kann man den "üblichen" Beweis für Skalarprodukte verwenden. Robot
15.11.2005, 21:04	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist zwar jetzt schon ne Woche her, aber kann ja nicht schaden, hier doch noch mal ne Idee zu posten (eventuell auch, um es später einmal verlinken zu können). Also, es geht mit vollständiger Induktion. Dabei fange man für den Induktionsschritt links an: $\begin{eqnarray} \left(\sum_{k=1}^{n+1}~a_kb_k\right)^2=\left(\left(\sum_{k=1}^n~a_kb_k\right)+a_{n+1}b_{n+1}\right)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =a_{n+1}^2b_{n+1}^2+2a_{n+1}b_{n+1}\sum_{k=1}^n~a_kb_k+\left(\sum_{k=1}^n~a_kb_k\right)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \overset{\mathrm{(IV)}}\leq a_{n+1}^2b_{n+1}^2+2a_{n+1}b_{n+1}\sum_{k=1}^n~a_kb_k+\left(\sum_{k=1}^n~a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^n~b_k^2\right) \end{eqnarray}$ Wenn man noch beweist, dass dies stets $\begin{eqnarray} \leq \left(\sum_{k=1}^{n+1}~a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n+1}~b_k^2\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =a_{n+1}^2b_{n+1}^2+\left(a_{n+1}^2\sum_{k=1}^n~b_k^2\right)+\left(b_{n+1}^2\sum_{k=1}^n~a_k^2\right)+\left(\sum_{k=1}^n~a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^n~b_k^2\right) \end{eqnarray}$ ist, was man leicht auf $\begin{eqnarray} x^2\geq 0\quad \forall\ x\in\mathbb R \end{eqnarray}$ zurückführen kann, dann ist man fertig. Gruß MSS
16.11.2005, 16:38	hallo	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön für die Mühe, habe es dann letzte Woche doch noch selbst hinbekommen in ähnlicher Weise.
16.11.2005, 18:24	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, dann. Is aber, wie gesagt, nicht so schlimm, das jetzt hier mal schnell reingeschrieben zu haben. Gruß MSS

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