Problem bei einer Ableitung

20.04.2008, 15:19

Geiermann

Problem bei einer Ableitung

Hallo,

ich habe Probleme die 1. Ableitung dieser Funktion zu bestimmen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = (ax^2 + b) * (cx + d) \end{eqnarray*}$

Welche Regel muss hier angewendet werden und wie? Ich habe mal versucht die die Ableitungen der Summen in den Klammern zu bestimmen und diese dann zu multiplizieren, aber dieser Rechner sagt das es falsch ist.

Mein Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2ax + c \end{eqnarray*}$

Deren Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} f' (x) = c*(ax^2 + b) + 2ax*(cx + d) \end{eqnarray*}$

Ich sehe zwar Bestandteile meines Ergebnisses hier wieder, aber auch die der ursprünglichen Funktion und es sieht so aus als wäre da irgendetwas "verkreuzt" oder so.

Was wurde hier gemacht?

Ich wäre für Hilfe dankbar.

MfG
Geiermann

20.04.2008, 15:25

Bjoern1982

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Die Produktregel wurde angewendet:

Für eine Funktion f(x)=u*v gilt f '(x)=u' * v + u * v'

20.04.2008, 16:01

Geiermann

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Aah okay verstanden. Wenn mans kennt dann sieht man das sofort. Danke nochmals.

Weitere Probleme machen mir die Ableitungen von Wurzel bzw. Wurzelbrüche.

Wie z.B. diese hier:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2*\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

Kommt die 2 im Nenner vielleicht von der 2. Wurzel, die man zieht? Weil die 2 ja immer im Nenner bleibt und im Zähler kommt der Faktor vor der Wurzel, soweit ich es beobachten konnte.

Was passiert denn, wenn man die n. Wurzel zieht? Ändert sich da was im Nenner oder auch im Zähler?

und:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{\sqrt{x}}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{10*\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Was hier gemacht wurde weiß ich nicht genau, aber es sieht so aus als wäre die Wurzel nur im Nenner gelandet und das sich die 5 mit der 2 von der Ableitung von $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ multipliziert.

Ich weiß, dass man $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} x^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ schreiben kann, aber wendet man das bei der Ableitung an? Hilft diese Umwandlung denn beim rechnen oder geht es auch leichter?

Sind jetzt meine Überlegungen richtig oder ist das alles nur "Zufall"?

Ich bitte nochmals um Erläuterung.

MfG
Geiermann

20.04.2008, 16:03

Bjoern1982

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Zitat:

Ich weiß, dass man $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} x^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ schreiben kann, aber wendet man das bei der Ableitung an?

Ja, das, und wirklich ausschließlich das, wendet man an.
Aus der Wurzelschreibweise eine Potenz machen um die Potenzregel für das Ableiten anzuwenden, mehr ist es nicht Augenzwinkern

Gruß Björn

20.04.2008, 16:21

Geiermann

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Okay heißt das jetzt das meine Überleungen alle falsch waren? Weil irgendwie fällt mir das so leichter, als das ganze jetzt umzuformen, aber wenn hinter meiner Methode keine wirkliche Mechanik hinter steckt, dann lasse ich es sein, obwohl es für mich logisch klingt und ich bin damit immer an die Lösung gekommen. Nach meiner Logik müsste bei der n. Wurzel das n auch in den Zähler kommen, da es auch so beim umschreiben ist.

Nochmal zum testen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 3*\sqrt[5]{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{3}{5*\sqrt{6}} \end{eqnarray*}$

Ist das jetzt richtig oder falsch?

Nochmal zum umschreiben:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{2}x^\frac{-1}{2} \end{eqnarray*}$

Macht man das jetzt so oder wie? Was mich verwirrt ist immer dieser negativ-halbe Exponent. Wie kommt man davon zu:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{2*\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

Woher kommt die 2 und wie kommt die Wurzel da unten?

Ich würde gerne wissen wie das geht.

MfG
Geiermann

20.04.2008, 16:30

Bjoern1982

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Zitat:

obwohl es für mich logisch klingt und ich bin damit immer an die Lösung gekommen. Nach meiner Logik müsste bei der n. Wurzel das n auch in den Zähler kommen, da es auch so beim umschreiben ist.

Was du mit "deiner Logik" berechnest kommt einzig und allein von der Potenzregel.

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2}}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Nochmal zum testen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 3*\sqrt[5]{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{3}{3*5(=15)*\sqrt{6}} \end{eqnarray*}$

Sowas ist gar nicht möglich weil in f(x) überhaupt kein x auftaucht, die Ableitung wäre deshalb gleich null.

Gruß Björn

20.04.2008, 16:41

Geiermann

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Zitat:

Sowas ist gar nicht möglich weil in f(x) überhaupt kein x auftaucht, die Ableitung wäre deshalb gleich null.

Okay mein Fehler. Hab beim Versuch ein extremes Beispiel zu machen was wichtiges verachtet, aber was kommt daraus, wenn da jetzt ein x ist oder geht die gar nicht auf?

Zitat:

Was du mit "deiner Logik" berechnest kommt einzig und allein von der Potenzregel.

Also richtig? Dann ist ja alles gut. Wusste gar nicht, dass ich unbewusst eine Regel benutze.

MfG
Geiermann

20.04.2008, 16:51

Bjoern1982

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Zitat:

Also richtig? Dann ist ja alles gut. Wusste gar nicht, dass ich unbewusst eine Regel benutze.

Nee, vergiss das lieber schnell...das klappt nur in Ausnahmefällen.
Wie gesagt wir die Potenzregel deine Probleme lösen, andere Möglichkeiten gibt es nicht.

Auch wenn $\begin{eqnarray*} f(x) = 3*\sqrt[5]{x} = 3* x^{\frac{1}{5}} \end{eqnarray*}$ gilt, dann ist die 1. Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x)=3*\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5}-1} \end{eqnarray*}$

Und das kann man jetzt noch etwas umformen.

Beachte $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x^m}=x^{ \frac{m}{n} } \end{eqnarray*}$

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