vollstände Induktion und schwarze Schafe

08.11.2005, 19:21	Snubnose	Auf diesen Beitrag antworten »
vollstände Induktion und schwarze Schafe Hallo, hier was zum Nachdenken: (ich bin mir meiner Lösung der Frage noch nicht ganz sicher und will mal schauen was ihr so schreibt :-)) Was ist in folgendem Beweis falsch? "Gibt es in einer Herde von N Schafen ein schwarzes Schaf, so sind alle N Schafe schwarz." Induktionsbeweis: Die Aussage ist für N = 1 offensichtlich wahr. Wir nehmen nun an, die Aussage sei wahr für ein gegebenes N >= 1. Dann können wir in einer Herde aus N + 1 Schafen mit einem schwarzen Schaf eine Unterherde aus N Schafen auswählen, welche das schwarze Schaf enthält. Nach Induktionsannahme sind in dieser Unterherde alle Schafe schwarz. Um zu zeigen, dass auch das letzte verbleibende Schaf schwarz ist, genügt es, eine andere Unterherde von N Schafen auszuwählen, welche das letzte Schaf enthält. Die übrigen Schafe dieser Unterherde sind schwarz. Also sind wegen der Induktionsannahme alle Schafe schwarz.
08.11.2005, 21:50	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
das problem ist, das das induktionsaxiom von Peano nicht Schafe beinhaltet! es gilt nur für die natürlichen zahlen. ausserdem ist die methode wies gemacht wird, etwas gewöhnungsbedürftig, aber wegen falscher grundmenge eh hinfällig. ähnliches beispiel: erfahrungsgemäß passt immer noch ein paar socken in den (schon vollen) koffer. anfang: ich stopf noch ein paar socken rein behauptung: es passt immer noch ein paar rein, und noch eins, und noch eins ... beweis: ich stopf noch ein paar rein .. und dann noch eins... ergo: es passt immernoch ein paar socken rein, mag der koffer noch so voll sein. das des völliger quatsch ist, genauso wie mathematisch beweise zu wollen das alle schafe schwarz sind. servus
08.11.2005, 21:54	mercany	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben
08.11.2005, 22:33	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Scheint eine Seuche zu sein. Obwohl zigmal widerlegt, taucht dieser "Beweis" in letzter Zeit immer wieder hier auf, sogar schon als angebliches Rätsel: unvollständige Induktion
11.11.2005, 09:55	Daktari	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn von n+1 Schafen eine Unterherde von N Schafen gewählt wird (welche nach IA schwarz sind) muss man noch zeigen, dass das n+1-te Schaf schwarz ist. Dazu wird eine andere Untergruppe von n Schafen gewählt, welche das n+1-te Schaf enthält, aber dafür ein anderes Schaf weglässt. Das weggelassene ist nach IA schwarz und die anderen n Schafe in der neuen untergruppe sind nach IA schwarz. q.e.d soweit der Beweis. Aber darf man überhaupt die Induktionsannahme 2-mal anwenden? Ist das der Trugschluss ?
11.11.2005, 09:59	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das darf man durchaus. Der Fehler liegt nicht da, der Induktionsschluss ist voll in Ordnung. Das Problem ist, dass dieser Induktionsschluss $\begin{eqnarray} n\to n+1 \end{eqnarray}$ nur für $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ greift, also noch nicht für $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ . Daher muss der Fall $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ ebenfalls noch extra bewiesen werden, das gehört in den Induktionsanfang. Wenn es denn gelingt...
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