Homomorphe Abb.

09.11.2005, 14:33	Judith2	Auf diesen Beitrag antworten »
Homomorphe Abb. Hallo, also irgendwie stehe ich voll auf der Leitung - ich komme einfach nicht drauf folgende Aufgabe zu lösen: $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bildet G auf G ab (G ist Gruppe) und ist definiert durch $\begin{eqnarray} f(x) = x^2 \end{eqnarray}$ . Man weiß, daß $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ein Homomorphismus ist. Man soll zeigen: dann ist G abelsch. Wie gesagt - ich komme einfach net auf den Ansatz. Ich weiß, es muß wegen homomorphie gelten: $\begin{eqnarray} f(ab) = f(a)f(b) \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} (ab)^2 = a^2 b^2 \end{eqnarray}$ . Ich habe schon versucht mit dem neutralen Element zu spielen - aber ich komm einfach net dahin, daß G abelsch wird. Bei einer ähnlichen Aufgabe mit x^{-1} hab ichs gleich gesehen - aber jetzt ... hmmm Ein Hinweis würde mir reichen - ich möchte das schon selbst lösen ... Lieben Gruß, Judith
09.11.2005, 16:35	Judith2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich antworte mir mal selbst Ich habe das jetzt so gemacht: $\begin{eqnarray} f(ab) = (ab)^2 = (ab)(ab) = a(ba)b \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nun abelsch, so gilt: $\begin{eqnarray} a(ba)b = a(ab)b = a^2 b^2 = f(a)f(b) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ wäre G nicht abelsch, so wäre $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nicht homomorph. Kann man das so machen? Gibts da ne schönere Lösung?
09.11.2005, 17:05	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
So kann mans machen. Es geht aber auch direkter. $\begin{eqnarray} abab = (ab)^2 = f(ab) = f(a)f(b) = a^2b^2 = aabb \end{eqnarray}$ Jetzt noch von links und rechts mit den Inversen von a und b multiplizieren und fertig.
09.11.2005, 20:24	Judith2	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, danke Das gefällt mir besser - man soll ja sowieso lieber direkt als indirekt beweisen ... Judith

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