vollständige Induktion

09.11.2005, 15:56

ledeyna

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vollständige Induktion

hi, hab ihr eine induktionsaufgabe, für die ich einige tipps brauche.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n}~(-1)^{k+1} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ \frac{1}{n+k} \end{eqnarray*}$

also den induktionsanfang für n=1 habe ich gemacht.

dann für n+1:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n+1}~(-1)^{k+1} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~ \frac{1}{n+1+k} \end{eqnarray*}$

und diese könnte man noch umschreiben in:

$\begin{eqnarray*} [\sum_{k=1}^{2n}~(-1)^{k+1} \frac{1}{k}] + [ (-1)^{2n+3} \frac{1}{2n+2} ] \end{eqnarray*}$ = [ $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ \frac{1}{n+k} \end{eqnarray*}$ ] + [ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1+k} \end{eqnarray*}$ ]

bloß wie kommt man hier jetzt weiter???wir sollen mit der umformung auf der rechten seite beginnen (tip) und ich habe versucht den wert der rechten seite zu berechnen, damit ich das summenzeichen wegbekomme, aber ich komm nicht drauf. kann mir bitte jemand weiterhelfen???? verwirrt

verwirrt

09.11.2005, 16:08

klarsoweit

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RE: vollständige Induktion
Für n+1 muß es heißen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n+2}~(-1)^{k+1} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~ \frac{1}{n+1+k} \end{eqnarray*}$

Im nächsten Schritt sind linke und rechte Seite nicht richtig umgeformt.
Auf der linken Seite müssen aus der Summe zwei Summanden rausgezogen werden.

09.11.2005, 16:12

ledeyna

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RE: vollständige Induktion
und diese könnte man noch umschreiben in:

$\begin{eqnarray*} [\sum_{k=1}^{2n}~(-1)^{k+1} \frac{1}{k}] + [ (-1)^{2n+3} \frac{1}{2n+2} ] \end{eqnarray*}$ = [ $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ \frac{1}{n+k} \end{eqnarray*}$ ] + [ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$ ]
so richtig?

09.11.2005, 16:22

ledeyna

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RE: vollständige Induktion
$\begin{eqnarray*} [\sum_{k=1}^{2n}~(-1)^{k+1} \frac{1}{k}] + [ (-1)^{2n+2} \frac{1}{2n+1} + (-1)^{2n+3} \frac{1}{2n+2} ] \end{eqnarray*}$ = [ $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ \frac{1}{n+k} \end{eqnarray*}$ ] + [ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$ ]

??? verwirrt

verwirrt

09.11.2005, 18:12

ledeyna

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RE: vollständige Induktion
kann mir bitte jemand weiterhelfen???

09.11.2005, 18:58

ledeyna

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RE: vollständige Induktion
traurig

traurig

traurig

bitteee

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09.11.2005, 19:04

sqrt(2)

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Die linke Seite sieht schon gut aus, auf der rechten solltest du nochmal auf den Nenner in der Summe achten.

Als weiteres Vorgehen halte ich die Anwendung der Induktionsvoraussetzung links und eine Indexverschiebung rechts für sinnvoll, um möglichst viel der Summen zu eliminieren. Durchgerechnet habe ich das alles aber noch nicht.

09.11.2005, 19:23

ledeyna

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RE: vollständige Induktion
$\begin{eqnarray*} [\sum_{k=1}^{2n}~(-1)^{k+1} \frac{1}{k}] + [ (-1)^{2n+2} \frac{1}{2n+1} + (-1)^{2n+3} \frac{1}{2n+2} ] \end{eqnarray*}$ = [ $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ \frac{1}{n+k} \end{eqnarray*}$ ] + [ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1+k} \end{eqnarray*}$ ] so vielleicht? obwohl ich dachte, in dem fall ist sowieso k=n??

09.11.2005, 19:37

sqrt(2)

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Nein, du musst rechts konsequent n durch n+1 ersetzen, also

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{n+1+k}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+1+k}+\frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$ ,

wobei das Aufteilen eigentlich gar nicht nötig ist, wenn du so vorgehst, wie ich das vorgeschlagen habe.

09.11.2005, 20:14

ledeyna

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Nein, du musst rechts konsequent n durch n+1 ersetzen, also

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{n+1+k}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+1+k}+\frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$ ,

aber wenn ich die summe in 2 teile, dann steht doch immer bei der induktion an erster stelle die summe, so wie sie vorgegeben ist , bis n, + dem bruch, in dem wir alle n's durch n+1 ersetzen.

deswegen versteh ich nicht, wie im ersten teil im bruch schon n+1 stehen darf???

09.11.2005, 20:19

sqrt(2)

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Zitat:

aber wenn ich die summe in 2 teile, dann steht doch immer bei der induktion an erster stelle die summe, so wie sie vorgegeben ist , bis n, + dem bruch, in dem wir alle n's durch n+1 ersetzen.

Beim Übergang $\begin{eqnarray*} n\to n+1 \end{eqnarray*}$ ersetzst du zunächst in der zu beweisenden Behauptung konsequent alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ . Nicht erst irgendwie später und dann nur ein bisschen.

09.11.2005, 20:32

ledeyna

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RE: vollständige Induktion
das hab ich doch auch schon gemacht
aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n}~(-1)^{k+1} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ \frac{1}{n+k} \end{eqnarray*}$

dann für n+1:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n+1}~(-1)^{k+1} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~ \frac{1}{n+1+k} \end{eqnarray*}$

bloß man kann doch die summen bis n+1 auch ausschreiben als:
$\begin{eqnarray*} (\sum_{k=1}^{2n}~(-1)^{k+1} \frac{1}{k}) + (-1)^{2n+2}\frac{1}{2n+1} + (-1)^{2n+3}\frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{n+k} + \frac{1}{n+1+k} \end{eqnarray*}$

09.11.2005, 20:51

sqrt(2)

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Noch einmal: Deine rechte Seite ist falsch. Richtig findest du es in meinem obigen Posting.

Ebenfalls noch einmal: Wieso willst du die rechte Summe überhaupt auseinanderziehen?

09.11.2005, 22:05

20_Cent

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RE: vollständige Induktion

Zitat:

Original von ledeyna
das hab ich doch auch schon gemacht
aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n}~(-1)^{k+1} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ \frac{1}{n+k} \end{eqnarray*}$

dann für n+1:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n+1}~(-1)^{k+1} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~ \frac{1}{n+1+k} \end{eqnarray*}$

die obere grenze der linken summe muss aber 2(n+1) = 2n+2 sein.
mfG 20

09.11.2005, 22:10

sqrt(2)

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Das dürfte ein Tippfehler sein, denn sie zieht die linke Summe dann richtig auseinander.

09.11.2005, 23:16

ledeyna

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Nein, du musst rechts konsequent n durch n+1 ersetzen, also

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{n+1+k}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+1+k}+\frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$ ,

kann es sein, dass hier auch ein tippfehler ist, und es eigentlich heißen müsste:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{n+1+k}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}+\frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$ ,

09.11.2005, 23:20

AD

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Beides falsch. Richtig ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{n+1+k}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+1+k}+\frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$ .

09.11.2005, 23:28

ledeyna

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ich versteh einfach nicht, warum $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{n+1+k}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+1+k}+\frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$

denn für n gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k} \end{eqnarray*}$

für n+1:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{n+1+k}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}+\frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$

09.11.2005, 23:33

20_Cent

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nein, wenn du die summe auseinander ziehst, muss doch in der summe rechts wieder das gleiche stehen wie links, du lässt doch nur den letzten summanden weg.
mfG 20

09.11.2005, 23:37

AD

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Zitat:

Original von ledeyna
denn für n gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k} \end{eqnarray*}$

Was gilt da? Da steht nur ein Term.

Zitat:

Original von ledeyna
für n+1:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{n+1+k}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}+\frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$

ist falsch!!!

Mal ausführlich, was du hier eigentlich brauchst:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{n+1+k} = \sum_{j=2}^{n+2}\frac{1}{n+j} = -\frac{1}{n+1}+ \left( \sum_{j=1}^n \frac{1}{n+j} \right) ~ + \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$

Dabei wurde eine "Indexverschiebung" $\begin{eqnarray*} j=k+1 \end{eqnarray*}$ durchgeführt. Und dann $\begin{eqnarray*} j=n+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} j=n+2 \end{eqnarray*}$ rausgenommen aus, und $\begin{eqnarray*} j=1 \end{eqnarray*}$ aber reingenommen in die Summe. Das muss dann natürlich noch ausgeglichen werden - und das sind die anderen drei Summanden.

09.11.2005, 23:50

ledeyna

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hmmm ok, dann hab ich aber

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n}~(-1)^{k+1} \frac{1}{k} + (-1)^{2n+2}\frac{1}{2n+1} + (-1)^{2n+3}\frac{1}{2n+2} = \sum_{k=1}^n~ \frac{1}{n+1+k} + \frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$

wie kann mir hier denn weitermachen???

09.11.2005, 23:56

AD

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In meinem letzten Posting war ich eigentlich schon weiter...

10.11.2005, 00:02

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man die Induktionsvoraussetzung anwendet, lautet die linke Seite

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}+(-1)^{2n+2}\frac{1}{2n+1}+(-1)^{2n+3}\frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$

Jetzt schau dir noch einmal die rechte Seite von Arthur an.

10.11.2005, 00:03

ledeyna

Auf diesen Beitrag antworten »

aber wozu brauch ich das?das summenzeichen ist dann immernoch da, und es wird ja nur komplizierter.
kann man nciht von einer der seiten den wert berechnen, so dass man nur noch auf einer seite das summenzeichen hat?

10.11.2005, 00:04

ledeyna

Auf diesen Beitrag antworten »

ok mom.

10.11.2005, 00:23

ledeyna

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sorry, mit der indexverschiebung komm ich gar nicht klar und wüsste auch gar nicht, wie ich jetzt meinen nächsten schritt machen sollte. die j's verwirren mich da etwas

10.11.2005, 00:32

AD

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Das Symbol des Summationsindex ist sowas von wurscht:

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=2}^{n+2}\frac{1}{n+j} = \sum_{k=2}^{n+2}\frac{1}{n+k} = \sum_{\alpha=2}^{n+2}\frac{1}{n+\alpha} = \sum_{\mathrm{egal}=2}^{n+2}\frac{1}{n+\mathrm{egal}} \end{eqnarray*}$

Ich habe doch bewusst etwas anderes als $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ genommen, um die Indexverschiebung sauber zu formulieren. Denn eine Formulierung a la " $\begin{eqnarray*} k=k+1 \end{eqnarray*}$ " als Erklärung ist vielleicht für Informatiker akzeptabel - für Mathematiker nimmer.

10.11.2005, 00:47

ledeyna

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haha

smile

ich studiere mathematik Lehrer

Lehrer

aber ich gebe jetzt auf mit dieser aufgabe. ich bekomm irgendwie nix mehr in meinen kopf und euch quäl ich auch nicht länger Tanzen

Tanzen

trotzdem vielen dank für eure mühe
bin jetzt wenigstens etwas weitergekommen Mit Zunge

Mit Zunge

10.11.2005, 00:51

sqrt(2)

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Nimm zur Kenntnis, dass du kurz vor dem Ziel aufhörst. Nach der jetzt anstehenden Umformung bleiben nur noch ein paar elementare Umformungen (Potenzgesetze, Subtraktion) und du bist fertig.

10.11.2005, 00:53

ledeyna

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aber was soll ich machen, ab dem letzten schritt komm ich nicht weiter.
ich versteh das nicht.

10.11.2005, 00:58

sqrt(2)

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Mehr als noch einmal ganz hinschreiben kann man es gar nicht mehr:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}\right)+(-1)^{2n+2}\frac{1}{2n+1}+(-1)^{2n+3}\frac{1}{2n+2} &=\\-\frac{1}{n+1}+ \left( \sum_{j=1}^n \frac{1}{n+j} \right) ~ + \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2}& \end{eqnarray*}$

Und denk daran, was Arthur bezüglich der Bedeutung des Summenindex gesagt hat.

edit: Verlorenes Minus wieder eingesammelt.

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