vollständige Induktion+Ungleichung

09.11.2005, 19:06	BitterSweet	Auf diesen Beitrag antworten »
vollständige Induktion+Ungleichung Hallo miteinander hab mal ein großes Problem! Wie kann ich folgendes beweisen? Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle n größergleich 2 gilt: (1+1/1) (1+1/2)² (1+1/3)³...(1+1)/(n-1)^(n-1)=n^n/n! so jetzt weiß ich nicht mal wie man dass besser darstellen kann abe ich hoffe man versteht was ich meine. Ich habe leider überhaupt keine Ahnung was ich damit anstellen soll. den Induktionsanfang hab ich natürlich schon gemacht nur dann schaut es eher schlecht aus. Vielleicht könnte mir jemand zumindest einen kleinen tipp abgeben wie ich da anfangen soll. lg Karin
09.11.2005, 19:36	IchDerRobot	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Karin, du möchtest also die Gleichung $\begin{eqnarray} (1+\frac{1}{1})(1+\frac{1}{2})^2(1+\frac{1}{3})^3...(1+\frac{1}{n-1})^{n-1} = \frac{n^n}{n!} \end{eqnarray}$ für alle natürlichen Zahlen n beweisen. Wie weit kommst du denn da im Induktionsschritt, bei welcher Gleichung kommst du nicht weiter? Robot
09.11.2005, 19:48	BitterSweet	Auf diesen Beitrag antworten »
hi! ich muss zugeben nicht wirklich weit weil ich sowas noch nie vorher gesehen oder gemacht habe. also ich hab mal den Induktionsanfang mit n=2 durchgeführt und der passt. dann hab ich die Induktionsbehauptung mit $\begin{eqnarray} (1+\frac{1}{n})^{n}=\frac{n^{n+1}}{(n+1)!} \end{eqnarray}$ naja und dann kommt ja der Induktionsschritt mit n->n+1: $\begin{eqnarray} (1+\frac{1}{n})^{n} \end{eqnarray}$ }= so und jetzt müsst man das glaub ich irgendwie anders darstellen damit ich die Induktionsvoraussetzung einsetzen kann aber ich weiß nicht wie. LG Karin
09.11.2005, 20:08	IchDerRobot	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist nicht deine Induktionsbehauptung, sondern das ist sie: $\begin{eqnarray} (1+\frac{1}{1})(1+\frac{1}{2})^2(1+\frac{1}{3})^3...(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}(1+\frac{1}{n})^n \overset{!}{=} \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \end{eqnarray}$ Als Induktionsvoraussetzung hast du diese Gleichung: $\begin{eqnarray} (1+\frac{1}{1})(1+\frac{1}{2})^2(1+\frac{1}{3})^3...(1+\frac{1}{n-1})^{n-1} = \frac{n^n}{n!} \end{eqnarray}$ Wenn du die in die erste einsetzt, kannst du dadurch alle Faktoren der linken Seite ersetzen, bis auf den letzten: $\begin{eqnarray} \frac{n^n}{n!}(1+\frac{1}{n})^n \overset{!}{=} \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \end{eqnarray}$ Dies ist die Gleichung, die du beweisen musst (das ! auf dem = hab ich gesetzt, um dich zu erinnern, was du - nach Induktionsvoraussetzung - schon bewiesen hast, und was du noch beweisen musst). Robot
09.11.2005, 22:10	BitterSweet	Auf diesen Beitrag antworten »
danke danke jetzt hab ichs! hast mir wirklich sehr geholfen und kapiern tu ichs jetzt auch ^_^ !!!! lg Karin
10.11.2005, 22:12	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
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