Beweis Teilmenge

21.04.2008, 08:03

Ela.Martin

Beweis Teilmenge

Ich habe folgende Aufgabe zu lösen:
$\begin{eqnarray*} \alpha(A)=B \end{eqnarray*}$ sei eine Abbildung
(a) Für jede Teilmenge T von A ist T eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \alpha^{-1} (\alpha (T)) \end{eqnarray*}$
(b) Für jede Teilmenge U von B ist $\begin{eqnarray*} \alpha^{-1} (\alpha (U)) \end{eqnarray*}$ Teilmenge von U

Kann mir da Jemand weiterhelfen? Muss ich hier injektivität, surjektivität, bijektivität beachten?

21.04.2008, 08:44

Mazze

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Zitat:

Kann mir da Jemand weiterhelfen? Muss ich hier injektivität, surjektivität, bijektivität beachten?

Diese Eigenschaften sind hier nicht wichtig. Setze doch einfach an, die Beweise sind straight forward. Also Sei

$\begin{eqnarray*} x \in T \Rightarrow f(x) \in f(T) ... \end{eqnarray*}$

Der Kniff hier ist nur zu verstehen was die Schreibweise $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ bedeutet wenn A eine Menge ist.

Zitat:

Für jede Teilmenge U von B ist $\begin{eqnarray*} \alpha^{-1} (\alpha (U)) \end{eqnarray*}$ Teilmenge von U

So wie es hier steht ist es falsch, da Deine Abbildung von A nach B geht ist $\begin{eqnarray*} \alpha(U) \end{eqnarray*}$ vielleicht sogar garnicht Definiert (zum Beispiel A ist der R³ und B R) Du meinst doch sicher

$\begin{eqnarray*} \alpha(\alpha^{-1}(U)) \end{eqnarray*}$ oder?

21.04.2008, 10:42

Ela.Martin

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zu b) stimmt Deine Korrektur, da hatte ich wohl einen Dreher drin.

aber bei a) habe ich noch ein paar Probleme.
$\begin{eqnarray*} x\in T\Rightarrow \alpha (x)\in \alpha (T) \end{eqnarray*}$ das ist soweit klar.
wenn ich eine Abbildung von A nach B habe, dann ist das ja in diesem Fall von T nach $\begin{eqnarray*} \alpha (T) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha (T) \end{eqnarray*}$ ist jetzt eine Menge. Und nun habe ich $\begin{eqnarray*} \alpha^{-1}(\alpha(T)) \end{eqnarray*}$ Und damit bekomme ich ja wieder die Urbildmenge. Also im bijektiven Fall wieder T.
Aber ich habe keine Ahnung wie ich das mathematisch verwenden kann.

21.04.2008, 10:49

Mazze

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Zitat:

Also im bijektiven Fall wieder T.

Wie ich Dir schon gesagt habe, die Bijektivität , oder sonst irgendwas spielt hier keine Rolle. Du weißt das

$\begin{eqnarray*} x \in T, \alpha(x) \in \alpha(T) \end{eqnarray*}$ und Du weißt das für eine Abbildung

f:C->D gilt

$\begin{eqnarray*} \alpha^{-1}(D) = \{x \in C | f(x) \in D\} \end{eqnarray*}$

Das heisst für Deinen vorliegenden Fall ist

$\begin{eqnarray*} \alpha^{-1}(\alpha(T)) = \{x \in A | \alpha(x) \in \alpha(T)\} \end{eqnarray*}$

Jetzt steht schon alles Da was Du für den Beweis für (a) brauchst. Du musst es nur noch richtig zusammenbauen. (b) funktioniert ganz ähnlich.

edit:

Denk dran, man zeigt das A eine Teilmenge von B ist indem man $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ annimmt und dann $\begin{eqnarray*} a \in B \end{eqnarray*}$ folgert.

edit2: Hab die Urbildmenge etwas erweitert. Dann wird die Teilmengeneigenschaft besser sichtbar.

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