Abb. Beweis |
| 09.11.2005, 21:25 | Jemali | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Abb. Beweis Zeigen Sie, dass eine Menge M genau dann endlich ist, wenn jede injektive Abbildung M -> M surjektiv ist. Hinweis: Behandeln Sie zunächst den Fall einer endlichen Menge mit vollständiger Induktion, dann den Fall einer abzählbar unendlichen Menge. Für den allgemeinen Fall düurfen Sie ohne Beweis verwenden, dass für jede unendliche Menge M eine injektive Abbildung N -> M existiert. danke für eure hilfe |
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| 10.11.2005, 00:45 | IchDerRobot | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Jemali, du beweist per Induktion folgende allgemeinere Aussage: Für jedes endliche M und zu M gleichmächtige N und jede Funktion f: M -> N gilt: aus f injektiv folgt f surjektiv. Die Induktion läuft über die gemeinsame Größe von M und N. Der Induktionsanfang ist M = {}, N = {}, die leere Menge. Die einzige Funktion f: {} -> {} ist die leere Funktion, die ist trivialerweise injektiv und surjektiv. Nun seien M und N beliebig endlich aber nichtleer, gleichgroß, und f: M -> N. Die Induktionsvoraussetzung ist, dass für jede Menge M', die kleiner ist als M, und jedes N' mit gleichvielen Elementen wie M', die Schlussfolgerung "f: M' -> N' und f injektiv => f surjektiv" bereits bewiesen ist. Wir wählen nun irgendein Element y aus dem Bild f(M) und ein Urbild x in M mit f(x) = y. Wir setzen M' = M \ {x}, N' = N \ {y}. Weil f injektiv auf M ist, gibt es kein Element von M', das auf y abgebildet wird, d.h. f(M') ist eine Teilmenge von N', also schränken wir f ein zu einer Funktion f': M' -> N'. Die ist immer noch injektiv, also nach Induktionsvoraussetzung surjektiv. Damit ist auch f surjektiv. Als Beispiel einer abzählbar unendlichen Menge kennst du sicher die Menge der natürlichen Zahlen. Betrachte dort die injektive Funktion f: IN -> IN, f(x) = 2x, die wegen 3 nicht in f(IN) nicht surjektiv ist. Den allgemeinen Fall überlegst du dir dann. Robot |
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