Minimalste Hypotenuse...

09.11.2005, 21:52

peter schützel schütt

Minimalste Hypotenuse...

http://www.diveintojens.org/graphbbbb.png
Der rote Graph hat die Funktion $\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{4}x^{2} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt soll der Abstand zwischen Punkt P(3|0) und Graph der Fkt. so klein wie möglich sein. Siehe d(min)
Doch wie berechnet man das Minimum?

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} HB: d(a,y)= \sqrt{{a}^{2}+{y}^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} NB: & y=\frac{1}{4}x^{2} \Rightarrow y=\frac{1}{4}(3-a)^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ZF: \sqrt{{a}^{2}+{(\frac{1}{4}(3-a)^{2})}^{2}} \end{eqnarray*}$

Leider komme ich so auf a=0.6 bzw. a=3/5. unglücklich

Sind die Bedingungen und die Zielfunktion überhaupt richtig?

Danke!

09.11.2005, 22:14

Teutone

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Die Zielfunktion ist soweit richtig, aber $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ Auf dein Ergebnis kommt man übrigens, wenn man Beim Pythagoras $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} y^{2} \end{eqnarray*}$ unter der wurzel schreibt...

09.11.2005, 22:18

sqrt(2)

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Du kannst dir das Ableiten auch einfacher und damit fehlerfreier machen, wenn du weißt, dass $\begin{eqnarray*} g(x)=\sqrt{f(x)} \end{eqnarray*}$ dann extremal ist, wenn $\begin{eqnarray*} |f(x)| \end{eqnarray*}$ extremal ist. Die Betragsstriche kannst du bei $\begin{eqnarray*} f(x)>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , wie es bei solchen Aufgaben meistens der Fall ist, einfach weglassen.

09.11.2005, 22:31

peter schützel schütt

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Jepp, 1 ist richtig! (Habe es auch schon so eingezeichnet)

Leider komme ich nicht d'rauf. Kotzen

Wie leitet man eigentlich die gesamt Wurzel ab? War lange nicht in der Schule und hänge nun hinterher. Hilfe

Danke!!

09.11.2005, 22:36

peter schützel schütt

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@sqrt(2)

das verstehe ich nicht. traurig

09.11.2005, 22:39

20_Cent

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du kannst auch den Abstand^2 minimieren, das reicht aus,
wenn das Quadrat minimal ist, dann auch der richtige abstand.
dann wird das ableiten wesentlich einfacher, die wurzel ist ja weg...
mfG 20

09.11.2005, 22:50

peter schützel schütt

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blöde frage...

wie geht man vor, um

$\begin{eqnarray*} (\frac{9}{4}-\frac{3}{2}a+\frac{1}{4}a^{2} )^{2} \end{eqnarray*}$

auszumultiplizieren?

09.11.2005, 22:53

Anti-Mathematiker

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binom auflösen

09.11.2005, 22:55

Anti-Mathematiker

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auf was willst du denn überhaupt kommen?

09.11.2005, 22:57

20_Cent

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brauchste gar nicht... kannst auch direkt ableiten
und dann gleich 0 setzen...
mfG 20

09.11.2005, 22:58

Anti-Mathematiker

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} (a^2-6a+9)^2 \end{eqnarray*}$

so? verwirrt

09.11.2005, 22:59

Anti-Mathematiker

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er will ja nicht ableiten sondern ausklammern oder hab ich mich verlesen?:

09.11.2005, 23:02

peter schützel schütt

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Ich kriege es einfach nicht abgeleitet. traurig

Wie muss ich da vorgehen? Danke

09.11.2005, 23:05

20_Cent

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also:

das leitet man mit kettenregel ab. das a² abgeleitet ist hoffentlich klar. (ich mein das a² was du oben in der aufgabe noch hast, du addierst ja a² und diesen term den du ausmultiplizieren wolltest...)
also einfach alles ableiten,
dann das ganze =0 und du bist fast fertig...

(kettenregel: inneres ableiten, hinschreiben, dann die "klammer" ableiten, also in deinem fall die 2 nach vorn und hoch 1, der inhalt der "klammer" bleibt dabei gleicht)

mfG 20

lies doch mal, worum es vorher ging, anti...

09.11.2005, 23:09

peter schützel schütt

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also so:

$\begin{eqnarray*} d^{2}(a)=2a+2(\frac{1}{4}*2(3-a))) \end{eqnarray*}$

??

09.11.2005, 23:11

20_Cent

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nein, du hast ein ² vergessen...
die innere klammer hattest du doch eben ausmulitpliziert (1/4*a²+...)² stand dann da... das jetzt mit kettenregel ableiten
mfG 20

09.11.2005, 23:13

peter schützel schütt

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Zitat:

Original von peter schützel schütt
also so:

$\begin{eqnarray*} d^{2}(a)=2a+2(\frac{1}{4}*2(3-a))) \end{eqnarray*}$

??

ups, ich meine:

$\begin{eqnarray*} d^{2}(a)=2a+2(\frac{1}{4}*(-1)*2(3-a))) \end{eqnarray*}$

09.11.2005, 23:14

20_Cent

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*g* mist, zu langsam mit dem edit... s. o.
mfG 20

09.11.2005, 23:19

peter schützel schütt

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meine ableitung oben ist jetzt richtig, ja?

und was muss ich jetzt machen? ausmultiplizieren und null setzen?

09.11.2005, 23:21

peter schützel schütt

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Super!

0 = 3a - 3

Ihr seid spitze! Weiter so. :=)

09.11.2005, 23:22

20_Cent

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naja, kommt das richtige raus, aber ich bin grad zu müde... ich glaub da sind doch noch rechenfehler drin...
mfG 20

edit:

a³/4 - 9/4·a² + 35/4·a - 27/4 müsste eigentlich rauskommen, das =0 setzen liefert auch a=1 (unter anderem, sonst komplexe lösungen)

09.11.2005, 23:31

20_Cent

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RE: Minimalste Hypotenuse...

Zitat:

Original von peter schützel schütt

$\begin{eqnarray*} ZF: {a}^{2}+{(\frac{1}{4}(3-a)^{2})}^{2} \end{eqnarray*}$

ergibt abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} 2*a + a^3/4 - 9/4*a^2 + 27/4*a - 27/4 \end{eqnarray*}$

ich hoffe das stimmt jetzt...
mfG 20

09.11.2005, 23:33

peter schützel schütt

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hilfe!! schreibe morgen mathe klausur. kannst du mir deine lösung nochmal fix herleiten? vielen lieben dank!! Hilfe

09.11.2005, 23:39

20_Cent

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ok:
a^2 abgeleitet 2a (klar)

$\begin{eqnarray*} (1/4*(3-a)^2)^2 = (1/4*a^2 - 6/4*a + 9/4)^2 \end{eqnarray*}$

so, jetzt ableiten ergibt: (kettenregel)

innere: $\begin{eqnarray*} 1/2*a - 6/4 \end{eqnarray*}$

äußere: $\begin{eqnarray*} 2*(1/4*a^2-6/4*a+9/4) \end{eqnarray*}$

zusammen: $\begin{eqnarray*} (1/2*a - 6/4) * 2*(1/4*a^2-6/4*a+9/4) \end{eqnarray*}$

ausmultiplizieren: $\begin{eqnarray*} 1/4*a^3-9/4*a^2+27/4*a-27/4 \end{eqnarray*}$

zusammen mit 2a ( s. o.) folgt also:

$\begin{eqnarray*} 1/4*a^3-9/4*a^2+35/4*a-27/4 \end{eqnarray*}$

das =0 ergibt a=1.

mfG 20

hoffe das stimmt so, geh jetzt ins bett, gn8

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