Kurvenuntersuchung mit Differenzialrechnung
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10.11.2005, 14:54 padori Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenuntersuchung mit Differenzialrechnung
Hallo!
Seit ein paar Tagen haben wir das Thema der Kurvenuntersuchung. Heute haben wir eine Hausaufgabe mit entsprechenden Aufgaben bekommen die wir lösen sollen, leider weiß ich nicht genau wie ich dabei vorzugehen habe.
Hier mal die Funktion: f(x)= cos(2x)-2cosx
Wir sollen nun die Symmetrie, die relativen Extrem- und Wendepunkte bestimmen. Bei der Symmetrie habe ich eine Ursprungssymmetrie festgestellt. (Kein Plan ob das richtig ist) Nun sind die Extremounkte dran. Bei denen muss ich ja die erste Ableitung machen für die notw. Bedingung, leider scheiter ich hierbei schon und komme somit nicht weiter. Ich weiß zwar, dass ich die Ketten- und Summenregel anwenden muss, aber dabei bin ich mir immer nie so wirklich sicher was ich machen muss.
Es wäre wirklich sehr nett, wenn mir hier welche behilflich sein könnten.

Vielen Dank im Voraus!
10.11.2005, 15:16 brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenuntersuchung mit Differenzialrechnung
also ich mache dir mal eine Ableitung einer gewählten FUnktion vor:



Die Ableitung ist dann mit der Kettenregel:
10.11.2005, 15:20 padori Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenuntersuchung mit Differenzialrechnung
Dann ist die vollständige Ableitung der Funktion: f(x)=-2sin(2x)-2sinx ??
10.11.2005, 16:17 brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenuntersuchung mit Differenzialrechnung
nicht ganz. bedenke, dass die ableitung von wiederum ist.


also prüfe deine abelitung noch einmla nach und schaue ob du vielleicht einen vorzeichenfehler entdecken kannst?
10.11.2005, 17:36 padori Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenuntersuchung mit Differenzialrechnung
hab mir die Funktion noch mal angeschaut wie du es gesgat hast und du hattest recht, denn die Ableitung von cos is ja der negative sin von daher müsste F mit f(x) = -2sin(2x)+2sinx sein, oder nicht?!
10.11.2005, 19:27 brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenuntersuchung mit Differenzialrechnung
gefällt mir schon eher. ja so hätte ich das auch gemacht.

sieht richtig aus. und was möchtest noch wissen?
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11.11.2005, 13:18 padori Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenuntersuchung mit Differenzialrechnung
also jetz muss ich noch wie gesagt die relativen extrema und die wendepunkte berechnen. die notw. bed. bei den extrema heiße ja dass f'(x) = 0 sein muss. somit würde ich f(x) = 0 setzen
d.h. -2sin(2x)+2sinx=0 dann äquivalent umformen sodass sin(2x)+sinx=0 dasteht. anschließend würde ich substituieren hab aber kein plan wie das geht. kannst du mir da weiterhelfen?
11.11.2005, 13:27 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenuntersuchung mit Differenzialrechnung
Das ist keine äquivalente Umformung.
Ansonsten Additionstheoreme für sin verwenden.
11.11.2005, 13:31 padori Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenuntersuchung mit Differenzialrechnung
okay ich habe hier für sin(2x) einen zu stehen: sin(2x) = 2sinx+cosx aber in wie fern hilft mir das weiter?
11.11.2005, 13:35 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenuntersuchung mit Differenzialrechnung
Auch das ist nicht ganz richtig. cos(x) kannst du über trigonometrischen Pythagoras umformen.
11.11.2005, 13:44 padori Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenuntersuchung mit Differenzialrechnung
verwirrt wäre das dann cosx=\sqrt{-sin+1} ?
11.11.2005, 13:50 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenuntersuchung mit Differenzialrechnung
Bitte genauer sein. Auch das kommt der Wahrheit zwar sehr nahe, hat aber trotzdem einen kleinen Fehler.
11.11.2005, 13:55 padori Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenuntersuchung mit Differenzialrechnung
cosx=\sqrt{-sinx+1}
also auf meinem blatt steht jetzt -2(2sinx+(-sinx+1))+2sinx=0
ist mit sicherheit falsch oder??
11.11.2005, 14:05 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenuntersuchung mit Differenzialrechnung
Mit Sicherheit. Also wir hatten f(x) = -2sin(2x)+2sinx
Jetzt schreibe bitte nochmal genau hin, wie du sin(2x) bzw. cos(x) umformst.
11.11.2005, 14:58 padori Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenuntersuchung mit Differenzialrechnung
also in meinem formelbuch steht eine umformung für sin2x die da lautet:
sin2x = 2sinx * cosx
für cosx nehme ich den trigonometrischen pythagoras der lautet:
sin²x + cos²x = 1 und forme diesen nach cosx um also schaffe ich das sin²x auf die rechte seite: cos²x = sin²x +1 dann die wurzel draus oder nicht und ja "fertig"
11.11.2005, 15:01 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenuntersuchung mit Differenzialrechnung
sin2x = 2sinx * cosx stimmt.

cos²x = sin²x +1 stimmt nicht.

Bitte sorgfältig umformen.
11.11.2005, 15:04 padori Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenuntersuchung mit Differenzialrechnung
Oops natürlich heißt das cos²x = -sin²x + 1 und dann die Wurzel
11.11.2005, 15:11 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenuntersuchung mit Differenzialrechnung
Genau! Rock
Und jetzt das ganze in f'(x) zusammensetzen.
11.11.2005, 15:32 padori Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenuntersuchung mit Differenzialrechnung
also steht bei mir jetzt:
f'(x) = -2sinx(2x) + 2sinx
setze -2sin(2x) + 2sinx = 0
-2(2sinx + cosx) + 2sinx = 0
-2(2sinx + wurzel aus (-sinx+1) + 2sinx = 0

bietet sich jetzt eine zusammenfassung oder eine substitution an?
11.11.2005, 15:37 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenuntersuchung mit Differenzialrechnung
Zitat:
Original von padori
setze -2sin(2x) + 2sinx = 0
-2(2sinx + cosx) + 2sinx = 0

Achtung!!! Jetzt machst du wieder Umformungsfehler.
Was war sin(2x) ?
11.11.2005, 15:53 padori Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenuntersuchung mit Differenzialrechnung
schon wieder oops...
-2(2sinx * cosx) + 2sinx = 0
-2(2sinx * wurzel aus (-sinx+1)) + 2sinx = 0
11.11.2005, 15:55 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenuntersuchung mit Differenzialrechnung
Ok. Und das ganze mit Latex, wobei ich das Quadrat bei sin(x) selbst ergänze.
11.11.2005, 15:58 padori Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenuntersuchung mit Differenzialrechnung
wieso denn jetzt auf einmal sin²x?? hebt sich das nicht durch das Wurzel einsetzen auf?
11.11.2005, 16:02 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenuntersuchung mit Differenzialrechnung
Wieso das? verwirrt
Aus
folgt:

Jetzt Wurzel:
11.11.2005, 16:10 padori Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenuntersuchung mit Differenzialrechnung
ja aber hebt sich das ² dann nicht mit auf beim Wurzel ziehen? hmm...scheinbar nicht. auch gut...und jetzt?
11.11.2005, 17:39 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenuntersuchung mit Differenzialrechnung
Ich glaube, du hast etwas Probleme mit den Wurzelregeln. Man kann keine Wurzel aus einer Summe ziehen, etwa so:

Also da kommt Quatsch raus.

Jetzt hast du eine hübsche Gleichung, die man halbwegs gewohnt lösen kann. Etwas helfen tut die Substitution sinx = z.
12.11.2005, 11:48 padori Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenuntersuchung mit Differenzialrechnung
also wir haben die gleichung:
-2(2sinx*wurzel(-(sinx)²+1)+2sinx=0
dann substituiere ich sinx = z und erhalte:
-2(2z*wurzel(-z²+1))+2z=0
ist das richtig?
12.11.2005, 12:16 20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

ja, jetzt nach z auflösen.
mfG 20
12.11.2005, 12:50 padori Auf diesen Beitrag antworten »

aber muss ich da nicht erst mal alles zusammenfassen?
12.11.2005, 12:56 20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

naja, was meinst du mit zusammenfassen?
du musst solange umformen, bis z alleine dasteht ^^
da gibts bestimmt mehrere möglichkeiten
mfG 20
12.11.2005, 13:04 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Typischerweise isoliert man die Wurzel auf einer Seite der Gleichung, der Rest auf die andere Seite. Dann kann man mit Quadrieren die Wurzel entfernen.
12.11.2005, 13:23 padori Auf diesen Beitrag antworten »

aslo ich hab das jetz versucht auf meinem zettel zusammenzufassen aber ich garantiere dafür dass es falsch sein wird...naja ichschreib einfach mal mein ergebnis auf:
z=1/5
12.11.2005, 13:27 20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

das ist falsch, schreib doch mal deine rechnung hier hin, dann können wir dir den fehler sagen
mfG 20
12.11.2005, 13:31 padori Auf diesen Beitrag antworten »

also die gleichung mit z eingesetzt lautet ebi mir:
-2(2z*wurzel(-z²+1)+2z = 0
dann erste zusammenfassung:
-4z -2wurzel(-z²+1)+2z = 0
weitere zusammenfassung:
-8z-wurzel(-z²+1)+2z = 0
-8z+z+wurzel1(also 1)+2z = 0
-5z+1 = 0
-5z = -1
z = 1/5
12.11.2005, 13:40 20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von padori
also die gleichung mit z eingesetzt lautet ebi mir:
-2(2z*wurzel(-z²+1)+2z = 0
dann erste zusammenfassung:
-4z -2wurzel(-z²+1)+2z = 0
weitere zusammenfassung:
-8z-wurzel(-z²+1)+2z = 0
-8z+z+wurzel1(also 1)+2z = 0
-5z+1 = 0
-5z = -1
z = 1/5


1.


2. man darf nicht die wurzel aus einer summe ziehen!
(siehe klarwoweits post von oben)

löse die gleichung so, wie klarsoweit eben geschrieben hat:
die wurzel auf einer Seite isolieren und dann quadrieren, so dass sie wegfällt.
mfG 20
12.11.2005, 13:42 padori Auf diesen Beitrag antworten »

aber wie soll ich dass den machen ich meine dann müsst ich ja rein theoretisch den ganzen kammerauszug auf die rechte seite ziehen und somit fällt der auszug doch aber weg...oder nicht
12.11.2005, 13:45 20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

nein, die klammer kann man auch weglassen, da in der klammer ein produkt steht.
jetzt subtrahier mal 2z auf die andere seite.
dann müsstest du weiter kommen.
mfG 20

edit: Also so:



und jetzt -2z.
12.11.2005, 13:49 padori Auf diesen Beitrag antworten »

wieso hast du denn das gleichgesetzt? darf man das denn überhaupt?
12.11.2005, 13:52 20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab das nicht gleichgesetzt, ich hab das Assoziativgesetz angewendet und -2*2 gerechnet. Ich hab also einfach die linke seite ein bisschen umgeformt.
und ja, das darf man.
mfG 20
12.11.2005, 14:01 padori Auf diesen Beitrag antworten »

achso ich verstehe aber verrechne ich denn die -2 vor der klammer nur mit der 2 oder auch noch mit der wurzel?
okay also ich hab das jetz so ähnlich erst mal gemacht und hab als endergebnis z=-3/4 raus...
aber so wie ich mich kenne ist das mit sicherheit wieder mal falsch traurig
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