Integral Herausforderung

21.04.2008, 14:41	benjamin1717	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Herausforderung Hallo Leute! Kann man das lösen: $\begin{eqnarray} $\overset{b}{\underset{1}{\int}} e^{\frac{ln(x)}{x}}$ \end{eqnarray}$ ? Schaut einfach aus, ist es aber nicht... Vielen Dank! Benjamin
21.04.2008, 19:55	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube nicht, dass das elementar lösbar ist. Numerisch für gegebenes b natürlich schon. mfG 20
22.04.2008, 15:09	benjamin1717	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort! Das hab' ich mir auch schon fast gedacht. Aber gibts nicht die Möglichkeit das in einer Reihe zu entwickeln? Kann man da zu einer vernünftigen Abschätzung kommen? Liebe Grüße, Benjamin
22.04.2008, 15:28	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Wegen $\begin{eqnarray} 0\leq\frac{\ln x}{x}< 1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\geq 1 \end{eqnarray}$ , könnte man brutal vorgehen und erhält für b>1 $\begin{eqnarray} b-1<\int_1^b e^{\frac{\ln x}{x}}\dd x<(b-1)\cdot e. \end{eqnarray}$ Die Frage ist nur ob diese Abschätzung brauchbar ist. Edit: Es geht noch ein wenig besser. Die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{\ln x}{x} \end{eqnarray}$ hat ihr Maximum in x=e. Somit gilt sogar $\begin{eqnarray} b-1<\int_1^b e^{\frac{\ln x}{x}}\dd x<\begin{cases}(b-1)\cdot e^{\frac{\ln b}{b}}&:b\in(1,e)\\(b-1)\cdot e^{\frac{1}{e}}&: b\geq e\end{cases}. \end{eqnarray}$ Diese Abschätzung könnte wenigstens für relativ kleine b brauchbar sein.

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