Eindeutigkeit der LR-Zerlegung

21.04.2008, 15:42

Dunkit

Eindeutigkeit der LR-Zerlegung

Hallo,
ich habe folgende... naja nennen wir es mal "Vermutung":

Die LR-Zerlegung einer Matrix ist eindeutig, genau dann wenn die Determinante der Matrix ungleich 0 ist (und natürlich die LR-Zerlegung überhaupt existiert)

Aber stimmt das? und wenn ja: wieso?

21.04.2008, 15:56

tigerbine

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RE: Eindeutigkeit der LR-Zerlegung
Nimm doch mal an, dass es zwei verschiedene Zerlegungen gibt. Augenzwinkern

Zitat:

Unter einer LR-Zerlegung (ohne Pivotisierung) einer Matrix $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb R^{n \times n} \end{eqnarray*}$ versteht man eine Zerlegung in der Form $\begin{eqnarray*} A = LR \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} L \in \mathbb R^{n \times n} \end{eqnarray*}$ eine normierte untere Dreiecksmatrix und $\begin{eqnarray*} R \in \mathbb R^{n \times n} \end{eqnarray*}$ eine obere Dreiecksmatrix ist.

Zitat:

Die reguläre Matrix A besitzt eine LR-Zerlegung ohne Pivotisierung

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$

Alle Hauptabschnittsmatrizen $\begin{eqnarray*} A[k] \end{eqnarray*}$ regulär sind. Eine Hauptabschnittsmatrix ist genau dann regulär, wenn gilt $\begin{eqnarray*} \det(A[k]) \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} A=L_1R_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A=L_2R_2 \end{eqnarray*}$ zwei LR-Zerlegungen von A. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} L_12R_2 = L_1R_1 \end{eqnarray*}$

Aufgrund der Regularität von A folgt dann:

$\begin{eqnarray*} R_2R_1{-1} = L_2^{-1}L_1 \end{eqnarray*}$

Damit folgt wegen der Gestalt (L ist normiert), dass gelten muss:

$\begin{eqnarray*} L_2^{-1}L_1 = I = R_2R_1{-1} \end{eqnarray*}$

Somit folgt:

$\begin{eqnarray*} L_1=L_2,~R_1 = R_2 \end{eqnarray*}$

Und die Zerlegung ist Eindeutig.

21.04.2008, 16:07

Dunkit

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Ok danke, den Beweis kann ich nachvollziehen. Das Problem ist, ich brauche jetzt genau das Gegenteil, nämlich, wann eine LR Zerlegung nicht eindeutig ist (falls es das gibt?!)

In meinem Fall zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
hier gibt es die Zerlegung $\begin{eqnarray*} L = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} R= \begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Aber ist diese Zerlegung eindeutig?! Weil der Beweis den du gerade gepostet hast kann man ja hier nicht benutzen, weil die Matrix nicht invertierbar ist...

21.04.2008, 18:01

Mathespezialschüler

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Sie ist trotzdem eindeutig. Jede $\begin{eqnarray*} LR \end{eqnarray*}$ -Zerlegung dieser Matrix hat die Form

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ d & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b \\ da & db+c \end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Den Rest überlasse ich dir.

21.04.2008, 18:14

Dunkit

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Danke das hat sehr geholfen. Mit dem selben Trick habe ich jetzt noch errechnet, dass
$\begin{eqnarray*} C=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ keine eindeutige Zerlegung hat, richtig?!

21.04.2008, 18:21

Mathespezialschüler

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Ja. Aber wenn du schon zwei Zerlegungen angegeben hast, warum fragst du dann, ob das richtig ist? Natürlich ist das dann richtig ...

21.04.2008, 18:23

Dunkit

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öh, nur so der Vollständigkeit halber Augenzwinkern

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