Bogenlänge einer Raumkurve

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21.04.2008, 16:35	dipo01	Auf diesen Beitrag antworten »
Bogenlänge einer Raumkurve hallo zusammen ich soll die bogenlänge von folgender raumkurve berechnen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2t-1 \\ 2t{3/2} \\ \sqrt{5}t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und zwar zwischen den Punkten $\begin{eqnarray} A(-1,0,0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B(1,2,\sqrt{5}) \end{eqnarray}$ dann wird die ableitung von $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ normiert und ich erhalte als ergebnis $\begin{eqnarray} 3\sqrt{t+1} \end{eqnarray*}$ um auf die bogenlänge zu kommen muss ich das ganze jetzt integrieren, aber ich weiß jetzt nicht wie ich hier die grenzen setzten muss, wenn ich zwei punkte gegeben habe. kann mir jemand auf die sprünge helfen? lg u.
21.04.2008, 16:46	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast du LaTeX-mäßig wohl was vergessen, es heißt sicherlich $\begin{eqnarray} \vec{x}(t) = \begin{pmatrix} 2t-1 \\ 2t^{3/2} \\ \sqrt{5} ~ t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Ok, $\begin{eqnarray} \|\dot{\vec{x}}(t)\| = 3\sqrt{t+1} \end{eqnarray}$ wäre dafür richtig. Für die Bogenlänge das jetzt einfach integrieren: $\begin{eqnarray} L = \int\limits_{t_A}^{t_B} ~ \|\dot{\vec{x}}(t)\| ~ \dd t \end{eqnarray}$ Welche Werte $\begin{eqnarray} t_A \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} t_B \end{eqnarray}$ zu den Punkten $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ gehören, musst du natürlich vorher rausfinden. Aber das sollte hier nicht so schwer sein.
21.04.2008, 16:57	dipo01	Auf diesen Beitrag antworten »
sry, da hab ich was falsch gemacht bei der angabe ;-) hast recht. das mit dem integral als lösungsansatz hab ich auch noch... ober ich steh irgendwie am schlauch mit den grenzen. wenn ich die x-werte (-1/1) als grenze einsetze erhalte ich $\begin{eqnarray} 4\sqrt{2} \end{eqnarray}$ in der lösung steht jedoch $\begin{eqnarray} 4\sqrt{2} -2 \end{eqnarray}$ kannst du mir das mit den grenzen vielleicht genauer erklären?
21.04.2008, 17:15	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso "x-Werte" ? Die passenden t-Werte sind einzusetzen!
21.04.2008, 17:33	dipo01	Auf diesen Beitrag antworten »
ich steh total am schlauch, muss ich die Punkte wo in den Vektor einsetzen oder wie ermittle ich mir die richtigen t-werte? tut mir leid, komm nicht drauf...
21.04.2008, 18:15	dipo01	Auf diesen Beitrag antworten »
muss ich dazu die bogenlänge als parameterform einführen???
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21.04.2008, 18:29	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz ruhig bleiben: $\begin{eqnarray} t_A \end{eqnarray}$ ist der Startparameter, für den $\begin{eqnarray} \vec{x}(t_A) = \begin{pmatrix} 2t_A-1\\ 3t_A^{3/2}\\ \sqrt{5}~ t_A\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} = A \end{eqnarray}$ gilt! Genauso dann für $\begin{eqnarray} t_B \end{eqnarray}$ . Über welche der drei Koordinaten du nun zu $\begin{eqnarray} t_A \end{eqnarray}$ gelangst, bleibt dir überlassen - z.B. gleich die erste.
21.04.2008, 19:29	dipo01	Auf diesen Beitrag antworten »
danke, dh wenn ich so ein bsp habe muss ich praktisch nur eine gleichung anschreiben, zb $\begin{eqnarray} 2t-1=-1 \end{eqnarray}$ und erhalte so die untere grenze und $\begin{eqnarray} 2t-1=1 \end{eqnarray}$ für die obere grenze. dh nur wenn ich sicher bin, dass der punkt auf der kurve liegt, hab ich das richtig verstanden?
21.04.2008, 19:37	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, so kannst du die t-Werte ermitteln. Eine Überprüfung der anderen beiden Koordinaten ist i.a. aber trotzdem erforderlich, denn eine Raumkurve (nicht diese) kann ja durchaus mehrere Raumpunkte mit denselben x-Koordinaten haben.
21.04.2008, 21:11	dipo01	Auf diesen Beitrag antworten »
was ist, wenn dieser fall eintritt, dass ich mehrer werde habe? doppelintegral?
21.04.2008, 21:16	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Denk doch mal nach: Wenn ein und derselbe Punkt für mehrere $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ auftritt, dann schneidet sich die Raumkurve selbst in diesem Punkt! In dem Fall ist die Angabe "Berechne Kurvenlänge zwischen dem und dem Punkt" schlicht nicht eindeutig genug. Dazu müssen wohlgemerkt alle drei Koordinaten mit dem vorgegebenen Punkt übereinstimmen, nicht nur eine. Eine mag manchmal (wie im vorliegenden Fall) ausreichen zur Berechnung, überprüft werden müssen aber alle drei.

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