Ebenengleichung mit Gleichungssystem bestimmen

11.11.2005, 15:37	Hanni	Auf diesen Beitrag antworten »
Ebenengleichung mit Gleichungssystem bestimmen Hallo!! Würd mich freuen, wenn das folgende mal jemand nachrechnen könnte und mir sagen kann, wo ich nen Fehler gemacht habe. Ich muss eine Ebenengleichung durch die Punkte P(1/7/-1), Q=(-2,5,1) und R=(1,-5,2) bestimmen. Dass soll ich mit einem linearen Gleichungssystem machen. Der Ansatz ist der folgende (Die Zahlen hinter den Buchstaben sind immer Indices): P: 1n1 + 7n2 - 1n3 = c Q: -2n1 + 5n2 + 1n3 = c R: 1n1 - 5n2 + 2n3 = c Ich weiß das der Ansatz so richtig ist. Als Matrix würde sich ergeben: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 7 & -1 & 1 \\ -2 & 5 & 1 & 1 \\ 1 & -5 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das folgende habe ich gerechnet: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 12 & -3 & 0 \\ 0 & -5 & 5 & 3 \\ 1 & -5 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 9 & -36 \\ 0 & 1 & -1 & -3/5 \\ 1 & 0 & -3 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & -4,6 \\ 1 & 0 & 0 & -14 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann erhalte ich. n1=-14c n2= -4,6c n3= -4c Das habe ich in die erste Gleichung eingesetzt und habe erhalten: -14cx1 - 32,2 cx2 + 4cx3 = c c kürzt sich: -14x1 - 32,2 x2 + 4 x3= 1 Das Ergebnis stimmt aber nicht. Ich weiß, dass am Ende für die Ebenengleichung: 2x1+x2+4x3=5 herauskommen muss.
11.11.2005, 16:15	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
also dir sei gesagt das ergebniss das rauskommen soll stimmt tatsächlich! es ist auch ziemlich schwer deinen rechenweg zu verfolgen. aber wenn ich richtig lieg ist dir ein fehler beim zweiten schritt unterlaufen, da müsste in der ersten reihe $\begin{eqnarray} \frac{36}{5} \end{eqnarray}$ stehn anstelle von 36! probiers damit dann mal weiter zu rechnen !
11.11.2005, 23:33	Hanni	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab das gerade noch einmal durchgerechent, doch irgendwo muss noch immer ein Felhler sein, den ich nicht finde. Ich hab jetzt auch mal alle Schritte mit aufgeschrieben: Ansatz: Die Punkte jeweils in eine Gleichung der Form: x1n1 + x2n2 + x3n3 = c einsetzen. Es ergeben sích drei Gleichungen mit drei unbekannten. 1. Schritt: Zeile 1 - Zeile - Z. 2 + 2Z.3 Z. 3 bleib unverändert $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 7 & -1 & 1 \\ -2 & 5 & 1 & 1 \\ 1 & -5 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 2. Schritt: Z.1 - 12Z.2 Z.2 / -5 Z.3 + 5Z.2 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 12 & -3 & 0 \\ 0 & -5 & 5 & 3 \\ 1 & -5 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 3. Schritt: Z.1 / 9 Z.2 + Z.1 Z.3 + 3Z.1 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 9 & 36/5 \\ 0 & 1 & -1 & -3/5 \\ 1 & 0 & -3 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 4. Schritt: Es ergibt sich: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 4/5 \\ 0 & 1 & 0 & 33/5 \\ 1 & 0 & 0 & 98/5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 5. Schritt: Es lässt sich aus dem Gleichungssystem als Lösung ablesen: n1= 98/5 c n2= 33/5 * c n3= 4/5 * c einsetzen in eine Gleichung der Form: x1n1 + x2n2 + x3n3 = c Es ergibt sich: 98/5 c x1 + 33/5 c x2 + 4/5 c * x3 = c Durch c kürzen und mit 5 multiplizieren: 98 * x1 + 33 * x2 + 4* x3 = 5 Diese Lösung stimmt aber immer noch nicht mit dem überein, was da eigentlich rauskommen sollte (siehe oben bei meinem ersten Beitrag). Was mache ich da falsch??? Der Ansatz müsste eigentlich stimmen. Deswegen denke ich, dass da ein Rechenfehler irgendwo sein muss. Finde aber keinen. Hab das ganze jetzt schon ein paar mal nachgerechnet.
12.11.2005, 18:23	Hanni	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat das vielleicht mal jemand durchgerechnet?? Ich würde echt zu gern wissen, wo mein Fehler ist.
12.11.2005, 19:31	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
der 4. schritt lautet bei mir $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & \frac{4}{5} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{5}\\ 1 & 0 & 0& \frac{2}{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ rechnest du vielleicht ein bißchen zu schnell? werner

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