Aufgabe 15 (Kovergenz Grenzwert)

11.11.2005, 20:54

mamateli

Aufgabe 15 (Kovergenz Grenzwert)

Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen $\begin{eqnarray*} (a_{n}) \end{eqnarray*}$ auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert:

(a) $\begin{eqnarray*} (a_{n}) := \frac{(n+12)(n+27)(n+3)}{n+n^2+1} \end{eqnarray*}$

(b) $\begin{eqnarray*} (a_{n}) := 2^{n((-1)^n)} \end{eqnarray*}$

(c) $\begin{eqnarray*} (a_{n}) := \frac{5n^3-n^2+12}{3n^3-n+300} \end{eqnarray*}$

(d) $\begin{eqnarray*} (a_{n}) := \frac{7^n-5^n+2^n}{3 * 7^n-2^n+7} \end{eqnarray*}$

-- Die Aufgaben stammen aus der Analysis, wie könnte ich die Lösen?

edit von sqrt(2): LaTeX korrigiert.

11.11.2005, 21:04

swerbe

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für den anfang...

erweitere doch z.b. (a) und (c) mit einer sogenannten ,,nahaften eins", d.h. mit $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{n^3}}{\frac{1}{n^3}} \end{eqnarray*}$ und betrachte die entstehenden neuen folgen....was ergibt sich dann als grenzwert?

11.11.2005, 21:05

20_Cent

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hast du schon irgendwelche ansätze?
was für verfahren zur grenzwertbestimmung kennst du denn?
schau mal nach, wie ihr konvergenz definiert habt und guck, ob du über die definition die konvergenz der folgen zeigen kannst.
mfG 20

11.11.2005, 21:12

sqrt(2)

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RE: Aufgabe 15 (Kovergenz Grenzwert)
Zu den anderen Aufgaben:

Zitat:

Original von mamateli
(a) $\begin{eqnarray*} (a_{n}) := \frac{(n+12)(n+27)(n+3)}{n+n^2+1} \end{eqnarray*}$

Betrachte Zähler- und Nennergrad.

Zitat:

Original von mamateli
(b) $\begin{eqnarray*} (a_{n}) := 2^{n((-1)^n)} \end{eqnarray*}$

Betrachte $\begin{eqnarray*} a_{2n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{2n-1} \end{eqnarray*}$ . Was bedeutet das für die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von mamateli
(d) $\begin{eqnarray*} (a_{n}) := \frac{7^n-5^n+2^n}{3 * 7^n-2^n+7} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 7^n \end{eqnarray*}$ in Zähler und Nenner ausklammern und kürzen.

13.11.2005, 12:17

mamateli

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Danke für die Antworten, aber mit der (d) komme ich noch nicht ganz zu recht. Kann mir da nochmal jemand helfen?
Und wie sage ich eigentlich, dass z.B. die (c) nach $\begin{eqnarray*} 5/3 \end{eqnarray*}$ konvergiert, also mathematisch korrekt, gibt es da Definitionen?
Gibt es einen unterschied zwischen Konvergenz und Grenzwert (,wegen der AUfgabenstellung)?

13.11.2005, 12:32

20_Cent

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wenn eine Folge konvergiert, dann hat sie einen Grenzwert, bzw. sie konvergiert gegen diesen Grenzwert.
mfG 20

13.11.2005, 12:52

sqrt(2)

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Zitat:

Original von mamateli
Danke für die Antworten, aber mit der (d) komme ich noch nicht ganz zu recht. Kann mir da nochmal jemand helfen?

(d) funktioniert im Prinzip genauso wie (c):

$\begin{eqnarray*} \frac{7^n-5^n+2^n}{3\cdot7^n-2^n+7}=\frac{7^n}{7^n}\cdot\frac{1-\left(\frac{5}{7}\right)^n+\left(\frac{2}{7}\right)^n}{3-\left(\frac{2}{7}\right)^n+\frac{1}{7^{n-1}}} \end{eqnarray*}$

13.11.2005, 13:39

lowbie

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du studierst nicht zufällig mathe an der TU berlin?
wir haben nämlich exakt die selben aufgaben in dieser woche gestellt bekommen

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Aufgabe 15 (Kovergenz Grenzwert)

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