zwei Ungleichungen

11.11.2005, 21:58

Smarti

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zwei Ungleichungen

Hallo,

folgende beide Aufgaben:

1) Für alle n > 3 gilt: $\begin{eqnarray*} n^{2} \leq 2^{n} \end{eqnarray*}$

2) Für alle a,b aus R gilt: $\begin{eqnarray*} |a+b|+|a-b| \geq |a|+|b| \end{eqnarray*}$
Wann gilt Gleichheit?

Zu 1: Mir ist klar, dass es für n=4 gilt, auch dass es für n=5 gilt. Mein Problem ist es, es zu beweisen. Ich hab mir gedacht, dass es mit Induktion gehen müsste, also einfach für n+1.

$\begin{eqnarray*} (n+1)^{2} \leq 2^{n+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n^{2}+2n+1 \leq 2^{n}*2 \end{eqnarray*}$

Nach Vorraussetzung: $\begin{eqnarray*} n^{2}+2n+1 \leq 2^{n}+n+1 \end{eqnarray*}$

Nur wie schätze ich das *2 gegen die +2n+1 ab?

Zu 2) Hier ist mir auch klar wieso und Gleichheit herrscht, wenn a=b ist...aber wie soll ich das Gesammte Konstrukt nun beweisen?

Danke für eure Hilfe

11.11.2005, 23:05

Mathespezialschüler

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Bei 1. solltest du lieber von der anderen Seite abschätzen. Außerdem solltest du es in einer (Un-)Gleichungskette machen und nicht durch Umformungen, die du untereinander schreibst. Also, der Beginn ist:

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}=2\cdot 2^n\geq 2n^2 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt musst du noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 2n^2\geq (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

11.11.2005, 23:17

Smarti

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Ich denke ich hab die 1 nun geschafft mit den Abschätzungen ..zumindestens ist für mich alles logisch und absolut nachvollziehbar Prost

Prost

Aber die 2...*kopfkratz*

11.11.2005, 23:26

Mathespezialschüler

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Unterscheide Fälle:
1. $\begin{eqnarray*} a=0\vee b=0 \end{eqnarray*}$ .
2. $\begin{eqnarray*} a,b\neq 0 \end{eqnarray*}$
2.1 $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ haben gleiches Vorzeichen.
2.2 $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ haben verschiedenes Vorzeichen.

Gruß MSS

11.11.2005, 23:27

AD

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Darfst du die Dreiecksungleichung $\begin{eqnarray*} |x|+|y|\geq|x+y| \end{eqnarray*}$ verwenden?

11.11.2005, 23:34

Mathespezialschüler

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Stimmt, damit gehts viel einfacher. Hab ich irgendwie nicht gesehen. unglücklich

unglücklich

Gruß MSS

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11.11.2005, 23:48

Smarti

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darf ich, ja, aber wie soll mir die Dreiecksungleichung weiterhelfen?

Mit den Fallunterscheidungen guck ich mal, wie ich zurecht komme.

12.11.2005, 00:01

Mathespezialschüler

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Nein, lass das mit den Fallunterscheidungen. Setze einmal $\begin{eqnarray*} x=a+b,y=a-b \end{eqnarray*}$ und ein zweites Mal $\begin{eqnarray*} x=a+b,y=b-a \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

12.11.2005, 00:20

Smarti

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Also setze ich mal $\begin{eqnarray*} x=a+b, y=a-b \end{eqnarray*}$

Dann setze ich es in die Dreiecksungleichung ein: $\begin{eqnarray*} |x|+|y|\geq \end{eqnarray*}$

Ja ...da kommt nun mein nicht-Verständnis zum Vorschein...in der Dreiecksungleichung sind es die BEträge...dort hab ich keine einzelnen a und b beträge deklariert.

12.11.2005, 00:35

AD

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Zitat:

Original von Smarti
Dann setze ich es in die Dreiecksungleichung ein: $\begin{eqnarray*} |x|+|y|\geq \end{eqnarray*}$

Und - wo bleibt das Einsetzen von x=a+b und y=a-b und überhaupt die ganze rechte Seite?

12.11.2005, 00:44

Smarti

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Ja genau dabei hab ich doch Probleme..ich verstehe das nciht.

Wenn ich es einesetze (in die Dreiecksungleichung): $\begin{eqnarray*} |a+b|+|a-b|\geq |b+b| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |a+b|+|b-a|\geq |a+a| \end{eqnarray*}$

ja und nun?

12.11.2005, 00:46

AD

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Es ist $\begin{eqnarray*} b-a=-(a-b) \end{eqnarray*}$ , schau dir das mal ganz scharf an.

12.11.2005, 00:53

Smarti

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Also ich hab mir das nun 5 MInuten scharf angeguckt, dass es stimmt ist mir auch klar..aber wie es mir bei der Ungleichung weiterhelfen soll irgendwie nicht

12.11.2005, 00:54

AD

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Ok, daraus folgt für die Beträge $\begin{eqnarray*} |b-a|=|a-b| \end{eqnarray*}$ . Insgesamt sind wir also bei

$\begin{eqnarray*} |a+b|+|a-b| &\geq& 2|a|\\ |a+b|+|a-b| &\geq& 2|b| \end{eqnarray*}$

Gar keine Ahnung, wie daraus jetzt deine Ungleichung folgt? Dann solltest du vielleicht mal eine Nacht drüber schlafen und dir das mit wachen Augen morgen nochmal ansehen.

Gute N8 Wink

Wink

12.11.2005, 01:02

Smarti

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Okay, ist mir klar wie man daraus eine Ungleichung folgert...nur wie kommst du von $\begin{eqnarray*} |a+a| \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} 2|a| \end{eqnarray*}$ , für mich sind $\begin{eqnarray*} 2|a|= |a|+|a| \end{eqnarray*}$ .

gn8

edit: oh man..sry..ich geh nun wirklich schlafen LOL Hammer

LOL Hammer

12.11.2005, 18:19

Kathy20^

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@Smarti: du studierst nich zufällig Info (1.semester) in bonn ? Big Laugh

Big Laugh

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