DGL mit hilfe LINA II lösen

12.11.2005, 12:08

Mazze

DGL mit hilfe LINA II lösen

Also ich hab folgende Differentialgleichung

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} y_1'(x) \\ y_2'(x) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\omega^2 & -2\mu \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit den Anfangswerten

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} y_1(0) \\ y_2(0) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \omega,\mu > 0 \end{eqnarray*}$

Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist gerade

$\begin{eqnarray*} e^{Ax}*\int_{0}^{x}e^{-At}f(t) dt + e^{Ax}y^0 \end{eqnarray*}$

f(t) ist hier die Nullfunktion so bleibt also die Lösung

$\begin{eqnarray*} e^{Ax} + e^{Ax}y^0 \end{eqnarray*}$

Da wir das im Rahmen von lina II machen sollte man natürlich die Lina II methoden verwenden. D.h wir transformieren die Matrix auf Jordanform um $\begin{eqnarray*} e^A \end{eqnarray*}$ zu berechnen da

$\begin{eqnarray*} e^{PAP^{-1}} = Pe^{A}P^{-1} \end{eqnarray*}$ gilt. Also auch für die Jordanform dessen Potenz man leicht errechnet. Das Problem die Transformationsmatrizen explodieren für $\begin{eqnarray*} \mu != \omega \end{eqnarray*}$ Gibts da eventuel nochn andern Weg als straight über die Jordanform

zum vergleich die Matrix p ist

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ \frac{-\omega^2}{\mu + \sqrt{\mu^2 - \omega^2}} & \frac{\omega^2}{\mu - \sqrt{\mu^2 - \omega^2}} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.11.2005, 21:56

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Zitat:

Original von Mazze
Das Problem die Transformationsmatrizen explodieren für $\begin{eqnarray*} \mu != \omega \end{eqnarray*}$

Was meinst du damit? Bei dir ist die Jordanmatrix $\begin{eqnarray*} J=PAP^{-1} \end{eqnarray*}$ sogar diagonal, also ist die Berechnung von $\begin{eqnarray*} e^J \end{eqnarray*}$ einfach möglich. Und interessiert bist du ja an

$\begin{eqnarray*} e^A = e^{P^{-1}JP} = P^{-1} e^J P \end{eqnarray*}$ ,

was du dann ja einfach berechnen kannst. Also nochmal: Wo ist das Problem?

16.11.2005, 14:20

Mazze

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Zitat:

Wo ist das Problem?

die Berechnung von $\begin{eqnarray*} J = PAP^{-1} \end{eqnarray*}$ ist ungeheuer aufwändig und sehr fehleranfällig. Die Exponentialfunktion einer Diagonalmatrix ist ja verhältnismäßig einfach. Aber stur über die JNF ists halt n ganz schönes rumgehampel mit den Termen. Es ist zwar ne Diagonalmatrix, d.h man kann sie hinschreiben, das heißt aber nicht das man $\begin{eqnarray*} e^J \end{eqnarray*}$ nicht trotzdem mit P und $\begin{eqnarray*} P^{-1} \end{eqnarray*}$ multiplizieren muss für die Lösung.

16.11.2005, 14:55

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Wieso das hier bei Dimension 2 ungeheuer aufwändig sein soll, leuchtet mir immer noch nicht ein. Vielleicht lässt du dich einfach nur von den Wurzeltermen einschüchtern, einen anderen Grund sehe ich nicht.

16.11.2005, 15:00

Mazze

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Ich hab ja sonst kein problem mit dem Ausrechnen von solchen Dingern, aber ich zweifle irgendwie das es Sinn der Sache ist möglichst komplizierte Umformungen zu machen, deshalb dacht ich das ich vielleicht irgendwie einen etwas "angenehmeren" Weg übersehen hab.

$\begin{eqnarray*} P^{-1} = \frac{1}{2*\sqrt{\mu^2 - \omega^2}}*\begin{pmatrix} \frac{\omega^2}{\mu - \sqrt{\mu^2 - \omega^2}} & -1 \\ \frac{\omega^2}{\mu + \sqrt{\mu^2 - \omega^2}} & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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