gebrochenrationale Funktionen

21.04.2008, 20:09

gugelhupf

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gebrochenrationale Funktionen

Hallo,

ich werde am Mittwoch einen Test über gebrochenrationale Funktionen schreiben und nun verstehe ich viele Sachen noch nicht so ganz.

Asymptoten zB.

Ich mache immer limes.
Oder wenn zb die Funktion heißt $\begin{eqnarray*} \frac{x²+5x+5}{x+2} \end{eqnarray*}$
Dann zuerst Polynomdivision und dann Limes.

Was wenn ich habe $\begin{eqnarray*} \frac{x²+5x+5}{2x} \end{eqnarray*}$
soll ich dann auch Polynomdivision machen (ich wüsste nicht wie) oder gleich Limes?

Und dann ist es ja so, dass ich dann manchmal rausbekomme für dieses Verhalten im Unendlichen 0 .. was heißt das denn? Ich dachte immer, dann wäre y=0 eine Asymptote.. also genauso wie Polstelle, dass sich die Funktion immer an diese Stelle annährt.. aber sie nie berührt.

Nun habe ich dann heute diese zwei Funktionen gehabt. x1 .. da kam 0 raus für das Verhalten im Unendlichen und x=0 war eine Polstelle.

Also kann ja nicht sein, dass es so ist, dass die Fkt da sich nur an die x-Achse annährt, weil es ja eine Nullstelle gibt traurig

traurig

Dann bei x2 ist es so, dass die Funktion mit dem Limes diese schräge Asymptote hat. Und da nährt sich die Funktion nur an.

Warum ist das so?

Dann, ist es so..

wenn ich v(x) ausrechne und dort mögliche Polstellen rauskriege.. dass diese nur Lücken sein können, wenn sie gleichzeitig Nullstellen von u(x) sind?

21.04.2008, 20:24

tigerbine

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RE: gebrochenrationale Funktionen
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x²+5x+5}{x+2} \end{eqnarray*}$

1. Definitionsmenge bestimmen -> $\begin{eqnarray*} D_f=\mathbb R\setminus \{-2\} \end{eqnarray*}$ . Das ist dann auch ein Kandidat für eine senkrechte Asymptote. Zur überprüfung setzt man den kritischen Wert in den Zähler ein.

$\begin{eqnarray*} z(-2)=4-10+5 \neq 0 \end{eqnarray*}$

Somit haben wir bei x=-2 eine senkrechte Asymptote.

2. Grad Zähler vs Nener -> 2 >1 also geht das gegen "Unendlich". Da die Differenz aber nur 1 ist, kann man eine Gerade als Asymptote angeben. Dazu brauchst Du die Polynomdivision.

$\begin{eqnarray*} f(x)=x + 3 - \frac{1}{x + 2} \end{eqnarray*}$

*******************

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x²+5x+5}{2x} \end{eqnarray*}$

Gleiches Spiel. Hier ist die kritische Stelle x=0. Wieder senkrechte Asymtote. Wieder 2>1, also Gerade als Asymptote. Wieder Polynomdivision.

$\begin{eqnarray*} f(x)=0.5x + 2.5 + \frac{5}{2x} \end{eqnarray*}$

21.04.2008, 20:41

gugelhupf

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Mh, verstehe ich irgendwie nicht. unglücklich

unglücklich

Habe dir auch die falsche Funktion gesagt.

also die erste Funktion heißt: $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x²+1,5x}{2x-1} \end{eqnarray*}$

Das ist das Bild mit der lila Asymptote.. also der schrägen.

Da habe ich als Polstelle (damit meinst du doch senkrechte Asy. oder?) 0,5 raus.

Und dann die Asymptote so.. zuerst Polynomdivision und dann Limes.

Da nährt sich nun die Funktion nur an die schräge Asymptote an ohne sie zu berühren oder schneiden.

Dann habe ich die Funktion.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2x²-8}{x} \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt das Bild ohne lila.

Da habe ich mit dem Limes ausgerechnet, dass es 0 ist.

Warum ist das jetzt keine Asymptote, an die sich die Funktion nur annährt?
Also es gibt ja zwar eine Nullstelle bei -2 und 2 .. aber ich verstehe nicht, warum es jetzt trotzdem keine horizontale Polstelle ist.
Woran sehe ich denn sowas?

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x²+5x+5}{2x} \end{eqnarray*}$
Kann ich bei diesem Beispiel auch nur Limes machen ohne zuerst die Polymondivision zu machen?

Bei $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x³-8}{2x} \end{eqnarray*}$ meinte mein Nachhilfelehrer heute, dass ich auch einfach gleich Limes machen kann. Da habe ich wieder 0 rausbekommen.

21.04.2008, 20:52

tigerbine

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Zitat:

Original von gugelhupf

Habe dir auch die falsche Funktion gesagt.

Ehrlich gesagt, könnt ich jetzt ko****. Warum mach ich mir die Arbeit. unglücklich

unglücklich

Das Prinzip bleibt dennoch gleich.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x²+1,5x}{2x-1} =0.5x + 1 + \frac{1}{(2x - 1} \end{eqnarray*}$

Somit bei x=0.5 senkrechte Asymptote und dann 2>1, mit g(x)=0.5x+1 als Asymptote.

*****************

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2x²-8}{x} = 2x - \frac{8}{x} \end{eqnarray*}$

Bei x=0 senkrechte Asymptote, 2>1, mit g(x)=2x als Asymptote.

21.04.2008, 21:00

mYthos

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Und nebenbei gesagt, der Limes ist bei keiner Gesamtfunktion 0, sondern unendlich.

mY+

21.04.2008, 21:07

gugelhupf

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ja, ich bin mir nicht sicher, ob du mich verstanden hast : (
denke ich jedenfalls nicht.

Ich weiß ja, was Polstellen sind und wie ich die ausrechne. Deswegen verstehe ich nicht, warum es mir nochmal mit der senkrechten Asymptote erklären willst.

Wie komme ich von der Polstelle auf die Asymptote?
Doch nur mit Limes oder nicht?

Wir hatten in der Schule drei Fälle.

Einmal

Zähler größer als Nenner, dann Polynomdivision und danach Limes

Nenner und Zähler gleichgroß, dann Limes

Zähler kleiner als Nenner, dann Limes.

Jetzt hat mir heute mein Nachhilfelehrer gesagt, dass ich bei $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x³-8}{2x} \end{eqnarray*}$ auch einfach Limes machen kann OHNE Polynomdivision, obwohl der Zähler größer als der Nenner ist.

Das verstehe ich nicht.

Du hast mir ja nur erklärt, dass ich Polynomdivision machen muss, wenn der Zähler größer als der Nenner ist.

Meine Fragen waren aber:

Wenn ich beim Limes 0 rauskriege, warum kann die Funktion dann diese Asymptote schneiden?
Oder heißt das nur, dass die Funktion sich dann immer nur an eine Asymptote annährt, wenn ich eine Asymptote mit der Polynomdivision berechnet habe und dann dem Limes?

Und wenn ich nur Limes mache für das Berechnen des Verhaltens im Unendlichen und 0 rauskriege, ist es also keine richtige Gerade?

Dann war noch meine Frage, ob ich - ohne nachzurechnen - sehe, dass eine Nullstelle von v(x) eine Lücke ist, wenn diese v(x)-Nullstelle gleichzeitig eine u(x)-Nullstelle ist.

Also ich kriege im Nenner einen x-Wert raus. Und wenn im Zähler nochmal der gleiche x-wert rauskommt, dann ist es eine Lücke?
Also müsste ich nicht nochmal den v(x)-Wert in u(x) einsetzen.

Sorry, aber ich glaube, wir reden an einander vorbei.

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21.04.2008, 21:09

gugelhupf

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Zitat:

Original von mYthos
Und nebenbei gesagt, der Limes ist bei keiner Gesamtfunktion 0, sondern unendlich.

mY+

achso. also ist es damit keine wirkliche Funktion?

Okay, thanks smile

smile

21.04.2008, 21:14

tigerbine

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Was ist keine Funktion? Der Limes? verwirrt

verwirrt

21.04.2008, 21:14

mYthos

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Die Existenz des Limes ist keinesfalls entscheidend dafür, dass eine Funktion vorliegt. Funktionen können einen Grenzwert besitzen oder nicht, deswegen bleiben sie Funktionen. Du redest immer, dass der Grenzwert deiner Funktionen Null ist. Das stimmt einfach nicht. Wenn du mittels Polynomdivision in eine ganzrationale und eine gebrochen rationale Funktion aufspaltest, dann hat zwar die gebrochen rationale Funktion den Grenzwert 0, aber nicht der andere Teil oder die Gesamtfunktion.

mY+

@.. bine, ich bin schon still, ich wollte nur auf das Limes = 0 hinweisen.

21.04.2008, 21:18

gugelhupf

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nein, wenn ich die Funktion habe

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x³-8}{2x} \end{eqnarray*}$

Dann mache ich den Limes.

Dann habe ich stehen $\begin{eqnarray*} limes \frac{x² - \frac{8}{x}}{2} \end{eqnarray*}$

Ist ja dann 0/2

also 0.. da dachte ich, es wäre eine konstante Asymptote.

Also kann man hier auch einfach Limes machen ohne Polynomdivision wie es mein Nachhilfelehrer heute sagte?

21.04.2008, 21:37

tigerbine

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limes ohne jegliche angabe wo es hingehen soll ist doch für den A***.

mYthos: Kannst gerne weitermachen, ich muss gleich off gehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.04.2008, 21:45

gugelhupf

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ja, pardon, dass ich nicht weiß, wie man die ganzen Zeichen im Editor macht.
Ich dachte, es wäre Standard, dass man bei gebrochenrationalen Fkt. den Limes gegen plus/minus unendlich laufen lässt, also x.

Ich mache ja nur Oberstufe, GK.. da wird mein Lehrer mir bestimmt nicht eine Aufgabe geben, bei der der Limes gegen was anderes läuft.

Vielen Dank für deine Hilfe.

22.04.2008, 00:12

mYthos

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Dir muss endlich dies klar werden:
Auch wenn $\begin{eqnarray*} x \to \pm \infty \end{eqnarray*}$ geht, stimmen deine Ergebnisse nicht.

Es ist dann $\begin{eqnarray*} \lim \frac{x^2 - \frac{8}{x}}{2} \end{eqnarray*}$ bei weitem nicht 0. Überleg' dir, dass der rechte Teil des Zählers (der Bruch 8/x) zwar gegen 0 geht, aber doch nicht $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ! Also geht der ganze Bruch über alle Grenzen. Es gibt demzufolge keine konstante Asymptote, sondern eine Asymptotenkurve, diese lautet

$\begin{eqnarray*} a(x) = \frac{x^2}{2} \end{eqnarray*}$

Die Asymptotenkurve (grün) ist immer der Teil der Funktion (rot), welcher nach dem Grenzübergang, bei dem die gebrochen rationalen Anteile nach Null gehen, übrigbleibt!

Vielleicht konnte ich dir das nun klar machen und dein "Gehirn erleuchten" Big Laugh

Big Laugh

. Sieh auch die zugehörigen Graphen an.

Du solltest auch deinen Nachhilfelehrer darauf aumerksam machen, dass die Berechnung des Limes allein nicht ausreicht und dabei keine Aussage über die Lage und Form der Asymptotenkurve ermöglicht.

Wenn der Grad des Zählers nur um 1 größer ist, als der des Nenners, gibt es eine (lineare) Asymptote, also eine Gerade. Im Falle wie hier, wenn der Nenner vom Grad 1 und der Zähler vom Grad 3 ist, ist die Asymptote(nkurve) vom Grad 2. Wir sehen diesen Sachverhalt im obigen Graphen recht schön.

mY+

22.04.2008, 09:39

tigerbine

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Zitat:

Original von gugelhupf
ja, pardon, dass ich nicht weiß, wie man die ganzen Zeichen im Editor macht.
Ich dachte, es wäre Standard, dass man bei gebrochenrationalen Fkt. den Limes gegen plus/minus unendlich laufen lässt, also x.

Ich mache ja nur Oberstufe, GK.. da wird mein Lehrer mir bestimmt nicht eine Aufgabe geben, bei der der Limes gegen was anderes läuft.

Vielen Dank für deine Hilfe.

Liebes Küchlein, du bist nun lange genug hier im Board, dass man etwas mehr Eigeninitiative erwarten kann. Ferner haben wir auch die wichtigsten Latex codes verlinkt.

Erste Schritte im Board (Abschnitt Formeln)

Wie kann man Formeln schreiben?

Ferner ist völlig wurscht, ob du GK oder LK hast, ode rwas auch immer. Die korrekte Bearbeitung einer Aufgabe beginnt mit der korrekten Aufgabenstellung und bei der Bearbeitung kommt aus auf die korrekten Formulierungen an. Wenn Du sie noch nicht kennst, ok, aber die Ausrede GK ist nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.04.2008, 15:25

gugelhupf

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okay, danke, mY.
Das hilft mir schon sehr weiter. smile

smile

Ich dachte auch, dass x² gegen 0 läuft.. mein Nachhilfelehrer hat mir das gestern auch gesagt. Naja, war auch stressig gestern gewesen.

Also läuft alles mit einem Bruch, im Nenner nur ein x, gegen 0.

Also am Besten ist es wohl, wenn ich doch immer bei Zähler>Nenner eine Polynomdivision mache.. dann kriege ich das auf jeden Fall raus.
Obwohl ich nicht verstehe, warum unser Lehrer uns gesagt hat, dass wir das machen _müssen_, wenn man es auch mit dem Limes berechnen kann, wenn man es richtig macht.

Ich verstehe aber noch nicht ganz, was das Verhalten im Unendlichen überhaupt soll.

Wenn ich stehen habe $\begin{eqnarray*} \lim \frac{\frac{3}{x} - \frac{15}{x}}{1} \end{eqnarray*}$

Dann läuft es also nicht gegen 0 sondern ist +unendlich oder?
Das heißt die Funktion geht so: [attach]8032[/attach]

Wenn ich stehen habe $\begin{eqnarray*} \lim \frac{\frac{3}{x} - \frac{15}{x}}{-1} \end{eqnarray*}$

dann ist es -unendlich und die Funktion geht auf beiden Seiten ins Negative?

Und wie ist das bei +/-?

Ich glaube, das ist wieder alles falsch und noch unklar :/

@tigerbine,

sorry, aber wenn du alles falsch verstehen möchtest, bitte.

22.04.2008, 16:11

tigerbine

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Möchte ich nicht. Liest sich imho aber eben so. Und dass Du schon wieder nur lim schreibst, bestätigt mich. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex]\lim_{x \to \infty}[/latex]

22.04.2008, 17:41

mYthos

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Zitat:

Original von gugelhupf
....
Obwohl ich nicht verstehe, warum unser Lehrer uns gesagt hat, dass wir das machen _müssen_, wenn man es auch mit dem Limes berechnen kann, wenn man es richtig macht.

Ich verstehe aber noch nicht ganz, was das Verhalten im Unendlichen überhaupt soll.

Wenn ich stehen habe $\begin{eqnarray*} \lim \frac{\frac{3}{x} - \frac{15}{x}}{1} \end{eqnarray*}$

Dann läuft es also nicht gegen 0 sondern ist +unendlich oder?
....

In diesem Fall ist der Grenzwert 0, wenn x gegen Unendlich geht, denn beide Terme im Zähler gegen doch gegen Null!

Irgendwie habe ich das Gefühl, du hörst uns nicht richtig zu. Alles oben schon geschrieben. Polynomdivision UND Grenzwertbestimmung sind beide nötig, das eine ersetzt nicht das andere! Polynomdivision braucht man für die Bestimmung der Asymptotenkurven.

mY+

22.04.2008, 18:18

gugelhupf

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Ja, ich bringe wohl alles durcheinander. traurig

traurig

mich verwirren auch diese beispiele zB.

ich habe einmal die funktion
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+4}{x^3-x^2-3} \end{eqnarray*}$

hier habe ich raus y=0 (nur mit limes)

und da nährt sich die funktion nur an die x-achse an.

dann habe ich das beispiel

$\begin{eqnarray*} \frac{2x}{4x^2-4x+1} \end{eqnarray*}$

da habe ich bei limes 0/4 raus, also y=0 (auch nur mit limes). und da gibt es einen schnittpunkt mit der x-achse.

da sehe ich keinen unterschied, warum sich die funktion da nur annährt und warum sie sie beim anderen schneidet.

kann es vielleicht auch sein, dass wenn der zähler>nenner ist, man auch nur bei asymptotenkurven (wenn die differenz zwischen nenner und zähler 2 ist) eine polynomdivision braucht? (also hast du zwar eben auch geschrieben, aber vielleicht habe ich es wieder nicht verstanden)

dann würde ich zB das verstehen: Grenzwert

naja, ist wohl jetzt auch alles zu spät für meinen test morgen.

trotzdem vielen dank smile

smile

22.04.2008, 19:11

tigerbine

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Warum bist du so hartnäckig im Ignorieren? Schreib es doch einfach sauber hin. Du hast eine Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^2+4}{x^3-x^2-3} \end{eqnarray*}$

Du suchst:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} ~f(x) \end{eqnarray*}$

Dazu gibt es folgende Faustregel, wenn m den Maximalgrad des Zählers und n den Maximalgrad des Zählers bezeichnet.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} ~f(x) = \begin{cases} \text{Polynom Grad } \geq2 & m > n+1 \\ \text{Gerade } & m=n+1 \\ \text{Konstante Fkt. } & m=n \\ 0& m < n \end{cases} \end{eqnarray*}$

In den ersten beiden Fällen führt man den Nachweis über Polynomdivision. Man erhält auch sofort die Asymptotenfunktion. In den anderen Fällen Klammert man den Höchstgrad des Zählers aus und kürzt. An deinem Beispiel

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^2+4}{x^3-x^2-3} =\frac{x^2(1+\frac{4}{x^2})}{x^2(x-1-\frac{3}{x^2})} = \frac{1+\frac{4}{x^2}}{x-1-\frac{3}{x^2}} \end{eqnarray*}$

Dann benutzt man die bekannten Grenzwerte:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty}~\frac{1}{x^n}=0,~n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Das schneiden der x-Achse (also das Vorhandensein von Nullstellen) sagt nichts über den das Verhalten einer Funktion für "immer größere" x-Werte aus.

22.04.2008, 19:37

gugelhupf

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Okay, mein Ziel ist es nur, dass wenn ich eine Funktion bekomme, schon sehen zu können, ob die Funktion nun eine Gerade als Asymptote hat.. oder ob es 0 sein muss oder eine Kurve.
Und damit ich dann eben beim Rechnen meinen Verdacht bestätige. Und dann fühle ich mich schon sicherer und rechne entspannerter weiter und kriege keine Panik.

Sowas wie zB man hat bei v(x) eine Doppelnullstelle raus und damit muss die Polstelle (wenn es eben keine Lücke ist), keinen Vorzeichenwechsel haben.. und dann kann ich das mit der Tabelle nachrechnen und sehe schon, dass ich es richtig mache oder falsch. Und merke dann Fehler nicht erst am Ende meiner Kurvendiskussion.

Jetzt dachte ich eben die ganze Zeit, dass es auch Gründe dafür gibt, wann eine Asymptote von der Funktion geschnitten wird oder wann nicht.
Wenn es dafür keine gibt, okay.
Dann muss ich morgen wohl einfach paar Funktionswerte in der Umgebung der Asymptoten ausrechnen.. wir haben nämlich bisher auch keine Extrempunkte berechnet, deswegen wäre es eben gut zu wissen, wie sich die Funktion an die Asymptote annährt (also jetzt nicht Polstelle).

Ich habe jetzt auch schon verstanden, dass man bei Zähler>Nenner immer am Besten eine Polynomdivision machen muss und danach den Limes.

Bei manchen Aufgaben war es nun auch so, dass auch schon Limes ausgereicht hat .. da kam dann aber nur eine schräge Asymptote raus.

Ich weiß nun nicht, ob das nun Zufall war oder ob man sagen kann, dass man bei schrägen Asymptoten einfach nur den Limes berechnen kann.

Ich habe nämlich Probleme mit solchen Polynomdivisionen: $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^3-8}{2x} \end{eqnarray*}$

Wenn ich da wüsste, dass es eine Kurve sein muss, weil die Differenz der Potenzen 2 ist und ich definitiv die Polynomdivision machen muss, wäre das schon besser für mich.

Wenn ich nun aber zB so eine Funktion hätte $\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{x^3-8}{2x^2} \end{eqnarray*}$

Da wäre ja die Differenz nicht 2 und ich könnte sagen, dass es eine Gerade sein muss und bräuchte keine Polynomdivision machen, sondern könnte einfach den Limes bilden und würde das richtige rausbekommen.

Ich kann solche Polynomdivisionen einfach nicht lösen, ich mache da immer Fehler.

Ich habe das jetzt einfach so verstanden, dass wenn die Zählerpotenz um 2 größer ist als die Nennerpotenz, dass ich dann eine Kurve habe. Wenn es kleiner als 2 ist, habe ich eine Gerade. Und bei einer Gerade habe ich auch schon das richtige rausbekommen mit dem Limes ohne die Polynomdivision.

22.04.2008, 22:54

mYthos

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Zitat:

Original von gugelhupf
...
Wenn ich nun aber zB so eine Funktion hätte $\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{x^3-8}{2x^2} \end{eqnarray*}$

Da wäre ja die Differenz nicht 2 und ich könnte sagen, dass es eine Gerade sein muss und bräuchte keine Polynomdivision machen, sondern könnte einfach den Limes bilden und würde das richtige rausbekommen.

Ich kann solche Polynomdivisionen einfach nicht lösen, ich mache da immer Fehler.

Ich habe das jetzt einfach so verstanden, dass wenn die Zählerpotenz um 2 größer ist als die Nennerpotenz, dass ich dann eine Kurve habe. Wenn es kleiner als 2 ist, habe ich eine Gerade. Und bei einer Gerade habe ich auch schon das richtige rausbekommen mit dem Limes ohne die Polynomdivision.

Mit der Grenzwertbildung allein kannst du die Gerade nicht herausbekommen (das zeige uns einmal), denn der Grenzwert ist schlicht und ergreifend Unendlich.

$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{x^3-8}{2x^2} \end{eqnarray*}$

Dabei ist die "Polynomdivision" ja recht einfach, da im Nenner nur ein Monom steht, man kann also gliedweise dividieren - falls du das so gemeint hast.

$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{x^3-8}{2x^2} = \frac{x}{2} - \frac{4}{x^2} \end{eqnarray*}$

Das war es schon, der Bruch ganz rechts geht wieder gegen Null und als "Asymptotenkurve" verbleibt hier $\begin{eqnarray*} a(x) = \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$

Ein vielleicht hilfreicher Tipp: Ich denke, du wirst mehr Erfolg haben und dir auch weit "sicherer" sein, wenn du die Kurve vorher einfach mal plottest.

mY+

24.04.2008, 14:27

gugelhupf

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verstehe, also werde ich auf jeden Fall immer Polynomdivision machen müssen.

$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{x^3-8}{2x^2} = \frac{x}{2} - \frac{4}{x^2} \end{eqnarray*}$ so habe ich das auch mal gerechnet, habe da aber gedacht, dass ich nur den Limes bilde und nicht schon davor dividiert habe.

25.04.2008, 09:19

gugelhupf

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traurig

habe heute dann meinen Test geschrieben und, wie erwartet, das Verhalten im Unendlichen nicht rausbekommen! : (

Da war die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^3-4x}{x^2-x-2} \end{eqnarray*}$

Da habe ich nicht gewusst, wie ich die Polynomdivision machen muss, also habe ich den Limes gemacht unglücklich

unglücklich

Und y=x rausbekommen.

Dann habe ich auch eine Lücke für x=2 rausbekommen .. und wusste auch nicht, wie ich eine Lücke einmalen soll. Habe dann die Funktion gezeichnet, wie sie auch aussieht, aber bei x=2 ein Kästchen gemacht.

Wie müsste denn das Verhalten im Unendlichen sein?

$\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ hätte ich nur hinschreiben müssen oder?
Und dann gabs keine Asymptote?

25.04.2008, 09:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von gugelhupf
Da habe ich nicht gewusst, wie ich die Polynomdivision machen muss, also habe ich den Limes gemacht unglücklich

unglücklich

Wieso konntest du die Polynomdivision nicht? Über die Nullstellen von Zähler und Nenner solltest du diese erstmal faktorisieren. Wobei die Sache im Zähler noch etwas einfacher ist, da man nach dem Ausklammern von x eine binomische Formel erkennt. smile

smile

25.04.2008, 10:01

mYthos

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Hier kann man den Bruch zunächst umschreiben und zwar wird sowohl im Zähler, als auch im Nenner ausgeklammert:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x(x+2)(x-2)}{(x-2)(x+1)} \end{eqnarray*}$

Die Linearfaktoren im Nenner ergeben sich durch Auflösung dessen quadratischer Gleichung (bzw. Vieta).

$\begin{eqnarray*} \overline{f}(x) = \frac{x(x+2)}{x+1} = \frac{x^2+2x}{x+1} \end{eqnarray*}$

Durch das Kürzen durch (x-2) ergibt sich die Lücke bei x = 2, einzeichnen kannst du diese, indem du den Punkt $\begin{eqnarray*} (2; \frac{8}{3}) \end{eqnarray*}$ "einringelst", d.h. einen kleinen Kreis um ihn herum machst. Damit ist er ausgeschlossen.

Um die Polynomdivision kommst du jedoch auch bei der vereinfachten Funktion nicht herum. Erst dann ergibt sich die schiefe Asymptote zu

$\begin{eqnarray*} a(x) = x + 1 \end{eqnarray*}$

y = x ist sie jedenfalls nicht unglücklich

unglücklich

mY+

25.04.2008, 10:22

gugelhupf

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ja, jetzt verstehe ich es.

habs leider im Test nicht gesehen. traurig

traurig

Am Besten übe ich am Wochenende wieder ein paar Algebraaufgaben.

Also habe ich die Asymptote falsch.. zum Glück habe ich den Graphen richtig gemalt.

Die zweite Aufgabe habe ich richtig.

Bei der dritten habe ich etwas vergessen.

da war der Graph $\begin{eqnarray*} \frac{x^2-36}{x^2+16} \end{eqnarray*}$ ein Kanal.

Man sollte Breite bestimmen und Tiefe.

Das habe ich über die Koordinatenachsen gemacht.

Dann sollte man das Volumen nährungsweise bestimmen für 500m Länge

Da habe ich Breite*Tiefe : 2 gerechnet.. und vergessen *500m dieses Ergebnis zu rechnen.

Ist doch aber gut, dass ich Breite*Tiefe durch zwei geteilt habe? So ist das Ergebnis genauer oder?

Wir hatten ja noch keine Integralrechnung.

25.04.2008, 11:39

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Was hast du für die Breite und die Tiefe genommen*? Wenn der Querschnitt des Kanals näherungsweise über die Dreiecksformel zu berechnen ist, ist das Teilen durch 2 natürlich notwendig und richtig.

mY+

* b = 12, t = 9/4

25.04.2008, 11:42

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, ich hatte dann stehen (12m*2,25m):2 .. nur *500m vergessen.

naja, vielleicht kriege ich noch 12 punkte smile

smile

25.04.2008, 12:04

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, wenn du die Querschnittsfläche mit 13,5 m2 herausbekommen hast, werden sich wohl noch einige Pünktchen ausgehen ...

mY+

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