Beschränktheit von Mengen zeigen

12.11.2005, 16:44

Großes Fragezeichen

Beschränktheit von Mengen zeigen

Hallo, noch eine komplizierte Aufgabe...

1. Beschränktheit des halb-offenen Intervalls I=]p,q] , p und q sind reelle Zahlen

2. Äquivalenz folgender Bedingungen zeigen.
i) M Teilmenge von R ist beschränkt.
ii) Zu jeder reellen Zahl $\begin{eqnarray*} x\in R \end{eqnarray*}$ gibt es eine offene Epsilon-Umgebung von x, die M enthält.

Also bei 1. ist ja I Teilmenge von R. Ich wollte zeigen, dass p=inf(I) und q=sup(I) und damit ist die Menge beschränkt. Aber wie mach ich das...wir hatte folgende Def. zu
sup(M):
s=sup(M) genau dann wenn $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon \exists x_{\epsilon}: s-\epsilon<x_{\epsilon}<s \end{eqnarray*}$

12.11.2005, 16:49

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Großes Fragezeichen
s=sup(M) genau dann wenn $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon \exists x_{\epsilon}: s-\epsilon<x_{\epsilon}<s \end{eqnarray*}$

Bist du dir sicher, dass da nicht eher

$\begin{eqnarray*} s=\sup M\ :\Leftrightarrow\ \forall\ \varepsilon>0\ \exists\ x_{\varepsilon}\in M\ :\ s-\varepsilon<x_{\varepsilon}\leq s \end{eqnarray*}$

stand? Für das Supremum ist das dann ganz einfach. Du kannst nämlich für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ dasselbe $\begin{eqnarray*} x_{\varepsilon}\in M \end{eqnarray*}$ wählen. Beim Infimum hattet ihr dann sicher folgende Definition:

$\begin{eqnarray*} i=\inf M\ :\Leftrightarrow\ \forall\ \varepsilon>0\ \exists\ x_{\varepsilon}\in M\ :\ i\leq x_{\varepsilon}<i+\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Da kannst du bei dem halboffenen Intervall nicht immer dieselbe Zahl angeben.

Gruß MSS

12.11.2005, 17:36

Großes Fragezeichen

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Warum kann man immer dasselbe $\begin{eqnarray*} x_{\epsilon} \end{eqnarray*}$ nehmen beim sup? Meinst du, weil $\begin{eqnarray*} x_{\epsilon}\leq s \end{eqnarray*}$ , kann man $\begin{eqnarray*} x_{\epsilon}=s \end{eqnarray*}$ wählen, und egal wie klein das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ist, gilt ja trotzden $\begin{eqnarray*} \ s-\varepsilon<x_{\varepsilon}\leq s \end{eqnarray*}$ ?

12.11.2005, 17:39

Mathespezialschüler

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War denn eure Definition nun so, wie ich es aufgeschrieben hab?
Du kannst natürlich nicht immer dasselbe nehmen, aber in diesem Falle schon, weil das Supremum in diesem Falle zur Menge selbst dazugehört. Und ja, natürlich gilt für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s-\varepsilon<s\leq s \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

12.11.2005, 17:49

Großes Fragezeichen

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Ja, die Def ist so, wie dus hingeschrieben hast...ich hatte da ein paar Fehler gemacht...
ok, das ist dann auch klar.
Also erklärt das schonmal, dass die Menge nach ober beschränkt ist.

Und zum inf:
da kann man doch das $\begin{eqnarray*} x_{\epsilon} \end{eqnarray*}$ abhängig von i darstellen, also in unseerm Fall, da p ja nicht zu Menge gehört:
$\begin{eqnarray*} i< x_{\varepsilon}<i+\varepsilon |i \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} 0< x_{\varepsilon}-i<\varepsilon \end{eqnarray*}$ und da wir uns ja in der Menge der reellen Zahlen befinden, findet man zu jeden $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x_{\epsilon} \end{eqnarray*}$ , sodass die Ungleichung erfüllt ist...

12.11.2005, 17:53

Mathespezialschüler

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Wenn du vorher noch $\begin{eqnarray*} i=p \end{eqnarray*}$ setzt, dann stimmt das. Musst natürlich noch mit irgendeinem Satz oder Axiom von euch begründen, dass du zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ein solches $\begin{eqnarray*} x_{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ finden kannst.

Gruß MSS

12.11.2005, 18:35

Großes Fragezeichen

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naja, wir hatten nur son lemma und das besagt das, wa da unten steht.....

und bei 2. weiss ich nicht wirklich wie ich rangehen soll....
Ich muss ja die Hin- und Rückrichtung zeigen für:
M beschränkt $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow\ x\in M => x \in ]x-\epsilon,x+\epsilon[ => x-\epsilon\leq M \leq x+ \epsilon \end{eqnarray*}$

12.11.2005, 18:44

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Großes Fragezeichen
naja, wir hatten nur son lemma und das besagt das, wa da unten steht.....

Wo unten?

Zitat:

Original von Großes Fragezeichen
M beschränkt $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow\ x\in M => x \in ]x-\epsilon,x+\epsilon[ => x-\epsilon\leq M \leq x+ \epsilon \end{eqnarray*}$

Ne, das hast du sehr komisch aufgeschrieben. Du sollst beweisen:

$\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ beschränkt $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow\ \forall\ x\in\mathbb R\ \exists\ \varepsilon>0\ \forall\ m\in M\ :\ x-\varepsilon<m<x+\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Schreib dir die Definition von Beschränktheit nochmal auf und dann versuchst du das mal.

Gruß MSS

12.11.2005, 18:52

Großes Fragezeichen

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ach quatsch, unten...ich meinte natürlich oben, das was du aufgeschrieben hast, die Def. von sup und inf.
Das ist somit das einzige was wir hatten..Sonst gab es noch ein Lemma, das begat:
M beschränkt $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow\ \exists s \in R: \forall x\in M: |x| \leq s \end{eqnarray*}$

Ok, dann mach ich mich da mal dran....

12.11.2005, 19:03

Großes Fragezeichen

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Ich hab das jetz für "<=" so begründet:
$\begin{eqnarray*} x-\epsilon \end{eqnarray*}$ ist untere Schranke von M und $\begin{eqnarray*} x+\epsilon \end{eqnarray*}$ obere Schranke, somti ist die Menge M beschränkt....

12.11.2005, 19:14

Mathespezialschüler

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Und was ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ? Du musst schon ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ angeben.
Wie habt ihr denn Beschränktheit definiert? Und wenn das da oben nur ein Lemma war, also nicht die Definition vom Supremum, dann hattet ihr auch eine andere Definition von Supremum?
Oder waren das jetzt doch wieder die Definitionen? Da seh ich grad im Moment nicht mehr durch!

Gruß MSS

12.11.2005, 19:27

Großes Fragezeichen

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Ja, das da oben war nur ein Lemma. Ich weiss, dass das in vielen Skripten die Def. ist, aber bei uns was nur ein Lemma.
Und das mit der Epsilon-Charakterisierung vom sup und dem sup selbst was auch nur ein Lemma.
Die eizige Def. die hier bei mir sehe ist die der oberen Schrake:
s heißt obere Schranke von M, wenn
i) $\begin{eqnarray*} s\in M \end{eqnarray*}$
ii) $\begin{eqnarray*} \forall x: x\in M: x\leq s \end{eqnarray*}$

das hat mich auch irretiert, weil ich eben in andere skripte reingeschaut hab, und die def. anders, da wo bei uns lemma ist ist bei denen def....

12.11.2005, 19:38

Mathespezialschüler

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Das ist nicht richtig.
1. ist das nicht die übliche Definition für obere Schranke und
2. ist das schon gar nicht die Definition für Supremum.

Gruß MSS

12.11.2005, 19:52

Großes Fragezeichen

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ja eben...aber ich bin mir ganz sicher, dass der prof. das genau so angeschrieben hat. wahrscheinlich hat er es einfach verwechselt....auf jeden fall mach ich das mit sup. und inf., und der def. davon, die du ganz ober aufgeschrieben hast...

12.11.2005, 20:08

20_Cent

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ist dann s nicht das maximum von M ?
mfG 20

12.11.2005, 20:09

Großes Fragezeichen

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"<="
$\begin{eqnarray*} \exists x: x\in M: x-\epsilon<x<x+\epsilon \end{eqnarray*}$ ...dann hab ich auch das x..

12.11.2005, 20:19

Mathespezialschüler

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Nein, so ist das auch falsch. Diese Ungleichung ist ja jetzt trivial für $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ . Du hast mMn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zweimal benutzt für verschiedene Dinge. Das darfst du aber nicht.
@20Cent
Ja, aber nur, falls es existiert.

Gruß MSS

13.11.2005, 17:23

Großes Fragezeichen

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Also ich hab eben entdeckt, dass wir zunächst noch
$\begin{eqnarray*} i=\inf M\ :\Leftrightarrow\ \forall\ \varepsilon>0\ \exists\ x_{\varepsilon}\in M\ :\ i\leq x_{\varepsilon}<i+\varepsilon \end{eqnarray*}$
beweisen sollen.

Das hab ich jetzt versucht mitm indirektem Beweis:
"<=":
Annahme: $\begin{eqnarray*} \exists\epsilon_{0} \forall x \in M: x i nicht untere Schranke => Wid. zur Def.
Fall 2. $\begin{eqnarray*} i+\epsilon\leq x \end{eqnarray*}$ => i nicht grösste ob. Schrake => Wid. zur Def.

"=>" Ann:
i ist nicht infM, d.h $\begin{eqnarray*} \exists x\in M: i\in M \end{eqnarray*}$ ^ $\begin{eqnarray*} x Wid. zu $\begin{eqnarray*} i\leq x_{\epsilon} \end{eqnarray*}$ => i muss inf sein

So hab ich das gemacht...ich weiss nur nicht, ob es bei "=>"so reicht wies steht, oder ob ich noch $\begin{eqnarray*} x_{\varepsilon}<i+\varepsilon \end{eqnarray*}$ zum Widerspruch fürhren muss....

13.11.2005, 22:39

Mathespezialschüler

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Wenn du das beweisen sollst, musst du schon noch den Definitionsdoppelpunkt wegnehmen. Mir fällt grad auf, dass da noch was fehlt. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} i=\inf M\ \Leftrightarrow\ (\forall\ x\in M\ :\ x\geq i\ \wedge\ \forall\ \varepsilon>0\ \exists\ x_{\varepsilon}\in M\ :\ i\leq x_{\varepsilon}<i+\varepsilon) \end{eqnarray*}$

Entsprechend oben für das Supremum.
Dein Beweis, bei dem du "<=" geschrieben hast, ist übrigens der für "=>". Das hast du vertauscht. Der Beweis für die andere Richtung ist nicht korrekt, das liegt aber daran, dass der Teil, den ich jetzt hinzuigefügt habe, noch fehlte.

Gruß MSS

13.11.2005, 23:41

Großes Fragezeichen

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Oh, Tatsache...hab die Preile vertauscht...
Die aufgabe war eigentlich die, dass wir das Gegenstück für das Infimum zu nem Lemma aus der Vorlesung formulieren sollen.
Und das Lemma lautet folgendermaßen:
M sei Teilmenge von R und beschränkt, s sei obere Schrakne von M.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
i) s=supM
ii) $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \exists x_{\epsilon}\in M: s- \epsilon< x_{\epsilon} \leq s \end{eqnarray*}$

Das Gegenstück sieht bei mir dann so aus:
i) t=infM
ii) $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \exists x_{\epsilon}\in M: t\leq x_{\epsilon}< t + \epsilon \end{eqnarray*}$

Wir sollten dann noch bei einer Menge das infM zeigen, da hab ich den Teil berücksichtigt, den du eben noch hinzugefügt hast. Aber das Lemma ist so wie ichs hier stehen hab....aber angenommen, ich lass das so, wie ichs hatte, würde der Beweis denn dann gehen?

13.11.2005, 23:44

Mathespezialschüler

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Nein, dein Beweis ist falsch und deine Formulierung der Aussage auch.

Zitat:

Original von Großes Fragezeichen
M sei Teilmenge von R und beschränkt, s sei obere Schrakne von M.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
i) s=supM
ii) $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \exists x_{\epsilon}\in M: s- \epsilon< x_{\epsilon} \leq s \end{eqnarray*}$

Das fettgedruckte ist natürlich auch noch eine Voraussetzung, und zwar eine wesentliche! Beim Infimum musst du dann natürlich auch noch dazu schreiben, dass $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ eine untere Schranke und $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ beschränkt sein soll.

Gruß MSS

13.11.2005, 23:50

Großes Fragezeichen

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Aber angenommen, ich berücksichtige auch den Teil $\begin{eqnarray*} i\leq x \end{eqnarray*}$
dann kann ich doch für
=>" trotzdem annehmen, dass i ist nicht infM, d.h $\begin{eqnarray*} \exists x\in M: i\in M \end{eqnarray*}$ ^ $\begin{eqnarray*} x<i \end{eqnarray*}$ (das ist doch die Negation, oder?)
und dann hätte man doch den Wid. zu $\begin{eqnarray*} i\leq x \end{eqnarray*}$

14.11.2005, 00:21

Mathespezialschüler

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Du hast es schon wieder vertauscht, wir sind immer noch bei "<=".

Zitat:

Original von Großes Fragezeichen
=>" trotzdem annehmen, dass i ist nicht infM, d.h $\begin{eqnarray*} \exists x\in M: i\in M \end{eqnarray*}$ ^ $\begin{eqnarray*} x<i \end{eqnarray*}$ (das ist doch die Negation, oder?)

Nein, das ist nicht die Negation. Da ist zunächst der Fehler, dass in der Negation nicht $\begin{eqnarray*} i\in M \end{eqnarray*}$ gelten muss! Desweiteren hast du noch etwas vergessen. Die Aussage selbst ist:

$\begin{eqnarray*} i=\inf M\ :\Leftrightarrow\ i=\max\{u\in\mathbb R\ |\ \forall\ x\in M\ :\ u\leq x\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow\ \bigg(\Big(\forall\ x\in M\ :\ i\leq x\Big)\wedge \Big(\forall\ v>i\ :\ \neg (\forall\ x\in M\ :\ v\leq x)\Big)\bigg) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow\ \bigg(\Big(\forall\ x\in M\ :\ i\leq x\Big)\wedge \Big(\forall\ v>i\ \ \exists\ x\in M\ :\ x<v\Big)\bigg) \end{eqnarray*}$

Die letzte Aussage ist am gebräuchlichsten für uns. Die Negation davon ist?

Gruß MSS

14.11.2005, 00:33

Großes Fragezeichen

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Die Negation der letzten Aussage wäre dann
$\begin{eqnarray*} \bigg(\Big(\exists\ x\in M\ :\ x\leq i\Big) \end{eqnarray*}$ v $\begin{eqnarray*} \Big(\exists\ i>v\ \ \forall\ x\in M\ :\ v<x\Big)\bigg) \end{eqnarray*}$

14.11.2005, 00:35

Mathespezialschüler

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Nein, da bringst du einiges durcheinander. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \bigg(\Big(\exists\ x\in M\ :\ x<i\Big)\vee \Big(\exists\ v>i\ \ \forall\ x\in M\ :\ v\leq x\Big)\bigg) \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

14.11.2005, 01:14

Großes Fragezeichen

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ach stimmt....da haben wir aber doch den Widerspruch:
1.Fall: $\begin{eqnarray*} \exists x \in M: x Wid. zu $\begin{eqnarray*} \forall x\in M: i\leq x \end{eqnarray*}$
2.Fall: $\begin{eqnarray*} \exists v>i \forall x \in M: v\leq x \end{eqnarray*}$ => Wid. zu $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \exists x: x\leq i+\epsilon \end{eqnarray*}$

14.11.2005, 15:07

Mathespezialschüler

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Ja, genau. Aber beim 2. Fall solltest du noch genauer beschreiben, warum das ein Widerspruch ist. Du kannst da nämlich explizit ein solches $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ angeben.

Gruß MSS

14.11.2005, 15:56

Großes Fragezeichen

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Jetzt bin ich ganz durcheinander.
Also ich soll ja die äquivalenz von den beiden Aussagen zeigen:
i) t=infM
ii) $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \exists x_{\epsilon}\in M: t\leq x_{\epsilon}< t + \epsilon \end{eqnarray*}$

i)=>ii) da negiere ich ii) und zeige den Wid.:
Annahme: $\begin{eqnarray*} \exists\epsilon_{0} \forall x \in M: x i nicht untere Schranke => Wid. zur Def.
Fall 2. $\begin{eqnarray*} i+\epsilon\leq x \end{eqnarray*}$ => i nicht grösste ob. Schrake => Wid. zur Def.

ii)=>i) da nehme ich doch an, dass i nicht das Inf ist. und zeige:
$\begin{eqnarray*} \bigg(\Big(\exists\ x\in M\ :\ x<i\Big)\vee \Big(\exists\ v>i\ \ \forall\ x\in M\ :\ v\leq x\Big)\bigg) \end{eqnarray*}$
1.Fall: $\begin{eqnarray*} \exists x \in M: x Wid. zu $\begin{eqnarray*} \forall x\in M: i\leq x \end{eqnarray*}$
2.Fall: $\begin{eqnarray*} \exists v>i \forall x \in M: v\leq x \end{eqnarray*}$ => Wid. zu $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \exists x: x\leq i+\epsilon \end{eqnarray*}$

Nur für mich sagen

$\begin{eqnarray*} \bigg(\Big(\forall\ x\in M\ :\ i\leq x\Big)\wedge \Big(\forall\ v>i\ \ \exists\ x\in M\ :\ x<v\Big)\bigg) \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \exists x_{\epsilon}\in M: t\leq x_{\epsilon}< t + \epsilon \end{eqnarray*}$ in Prinzip das gleiche aus....und wenn man $\begin{eqnarray*} \bigg(\Big(\forall\ x\in M\ :\ i\leq x\Big)\wedge \Big(\forall\ v>i\ \ \exists\ x\in M\ :\ x<v\Big)\bigg) \end{eqnarray*}$
negiert, dann ist es doch der Fall bei "=>" Fall 2....

14.11.2005, 20:09

Mathespezialschüler

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Natürlich sagen sie das Gleiche aus. Eigentlich ist diese Äquivalenz ja auch ganz trivial. Bei 2. meinte ich halt nur, dass du $\begin{eqnarray*} \varepsilon_0=v-i \end{eqnarray*}$ wählen könntest.

Gruß MSS

14.11.2005, 23:12

Großes Fragezeichen

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Hab mir jetzt nochmal die 2. vorgenommen, irgendwie ist die aufg. in vergessenheit geraten...))

Also ich hab erstmal was für die eine Richtung:
"<=":
Annahme: M ist nicht beschränkt, d.h. es existiert kein infM und kein supM => das ist aber ein Widerspruch zur Def., denn die Elemente m aus M liegen im Intervall $\begin{eqnarray*} ]x-\epsilon,x+\epsilon[ \end{eqnarray*}$ , wobei x auch Element von ist, daher muss die Menge beschränkt sein...

14.11.2005, 23:24

Großes Fragezeichen

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Dann könnte ich das bei => doch auch durch Wid. zeigen, also:
"=>" Ann: $\begin{eqnarray*} \exists x \in R \forall \epsilon>0 \forall m\in M: (m<x-\epsilon) \end{eqnarray*}$ v $\begin{eqnarray*} (m> x+\epsilon) \end{eqnarray*}$ ....aber wie man das zum Wid. führt...hm....

14.11.2005, 23:41

Mathespezialschüler

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Warum willst du immer alles mit Widerspruchsbeweisen machen? unglücklich

Da geht es doch ganz einfach und wenn ich mich recht erinnere, hatten wir doch am Anfang des Threads dazu schonmal was.
"<=" stimmt übrigens jetzt. Freude

Gruß MSS

15.11.2005, 00:01

Großes Fragezeichen

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Das ist eine Beweismethode, die unser Prof. immer anwendet, also macht man das automatisch auch ...)
Ok, dann versuch ich es ohne Indirekten Beweis:
"=>":
Wenn M beschränkt ist, dann ist ja
$\begin{eqnarray*} |x|<K \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} -K<x<K \end{eqnarray*}$ , dann kann man doch $\begin{eqnarray*} K:=x+\epsilon \end{eqnarray*}$ definieren, und damit hat mans doch schon gezeigt, oder?.........

15.11.2005, 16:21

Mathespezialschüler

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Nein, da bringst du wieder was durcheinander. Zunächst musst du vorher noch "Es existiert in $\begin{eqnarray*} K>0 \end{eqnarray*}$ , sodass ..." schreiben. Und dann:
1. $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ muss nicht in der Menge liegen. Das nimmst du aber anscheinend an.
2. $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ hast du schon definiert, du musst ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ finden und nicht andersherum! D.h., dass du dir in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ dann irgendwie $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ definieren musst. Das ist mit diesen Bezeichnungen allerdings erstmal hinfällig wegen 1. .

Gruß MSS

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