Ungleichung mit Qaudraten beweisen

12.11.2005, 18:46

Planlos2007

Ungleichung mit Qaudraten beweisen

(ab+cd)² <= (a²+c²)(b²+d²)

(ab)²+2abcd+(cd)²<=a²b² + a²d² + c²b² + c²d²

a²b²+ 2abcd+c²d² <=a²b²+a²d²+c²b²+c²d²

2abcd<= a²d²+c²b²

2abcd<=(ad)²+(cb)² |-2abcd

0<=(ad)²-2abcd+(cb)²

0<=(ad-cb)²

Für ad-cb=0 gilt die Gleichheit, dass wäre der Fall wenn
(a oder b)=0 ^ (c oder b)=0 oder ad=cb

edit: Titel geändert, bitte wähle einen aussagekräftigen Titel! (MSS)

12.11.2005, 18:48

Mathespezialschüler

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Verschoben

Wenn du überall noch Äquivalenzpfeile davorsetzt, ist das vollkommen korrekt! Freude

Zitat:

Original von Planlos2007
Für ad-cb=0 gilt die Gleichheit, dass wäre der Fall wenn
(a oder b)=0 ^ (c oder b)=0 oder ad=cb

Wahrscheinlich nur ein Schreibfehler, aber da musst du $\begin{eqnarray*} a=0\vee c=0 \end{eqnarray*}$ schreiben.

Gruß MSS

edit by jochen:
habe aus dem thmub mal ein thumb gemacht

12.11.2005, 18:52

JochenX

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Verschoben

Wenn du überall noch Äquivalenzpfeile davorsetzt, ist das vollkommen korrekt! :thmub:

Zitat:

Original von Planlos2007
Für ad-cb=0 gilt die Gleichheit, dass wäre der Fall wenn
(a oder b)=0 ^ (c oder b)=0 oder ad=cb

Wahrscheinlich nur ein Schreibfehler, aber da musst du $\begin{eqnarray*} a=0\vee c=0 \end{eqnarray*}$ schreiben.

Gruß MSS

auch damit wäre ich nicht glücklich, da sind nämlich auch immer die buchstaben verdreht
"(a=0 ODER d=0) UND (b=0 ODER c=0)"

aber wozu überhaupt dieser teil?
der fällt doch auch unter ad=cb, das braucht keinen extrafall

12.11.2005, 19:01

Leopold

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RE: Ungleichung mit Qaudraten beweisen

Zitat:

Original von Planlos2007
Für ad-cb=0 gilt die Gleichheit, dass wäre der Fall wenn
(a oder b)=0 ^ (c oder b)=0 oder ad=cb

Wieso diese überflüssige und auch nicht ganz verständliche Fallunterscheidung? Gleichheit gilt, falls $\begin{eqnarray*} ad-bc = 0 \end{eqnarray*}$ ist. Fertig.

Hinweis: Die hier bewiesene Ungleichung ist die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. Mit dem Standardskalarprodukt des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ist nämlich die linke Seite gleich

$\begin{eqnarray*} \left( \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} \right)^2 \end{eqnarray*}$

und die rechte gleich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}^2 \cdot \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}^2 \end{eqnarray*}$

12.11.2005, 19:26

Mathespezialschüler

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Jetzt hab ich mich auch noch verschrieben. Hammer

Danke Jochen.

PS: @Leopold
Das ist mir auch vorhin noch aufgefallen (mit der "CSU").

Gruß MSS

12.11.2005, 19:55

InfoStudent

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Frage:
Seh ich das richtig, damit habe ich doch nur gezeigt wann Gleichheit gilt und nicht die gleichung bewiesen oder?

12.11.2005, 19:56

InfoStudent

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EDIT: Ungleichung ...

12.11.2005, 20:27

Mathespezialschüler

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Natürlich hast du die Ungleichung bewiesen, weil

$\begin{eqnarray*} (ad-bc)^2\geq 0 \end{eqnarray*}$

für alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \end{eqnarray*}$ gilt und daraus deine Ungleichung durch Umformung folgt.

Gruß MSS

13.11.2005, 16:26

Planlos2007

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Ich verstehe das mit den Pfeilen nich so wirklich! ob ich nun <=> oder <= oder => nehmen soll.....wann nimmt man welchen und welchen nehme ich in diesem speziellen Fall ?

13.11.2005, 23:11

Mathespezialschüler

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Was das bedeutet, siehst du hier. Bei diesen Umformungen, die oben getätigt wurden, kann man überall $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ schreiben.

Gruß MSS

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