Extremwertbestimmung/Dreieck

11.04.2004, 14:31

Wolli

Extremwertbestimmung/Dreieck

Hallo,

wah, ich hab hier zwei Extremwertaufgaben, bei denen ich total hänge...
Ich weiß, dass ich bei beiden die Strahlensätze anwenden muss, hab auch für beide irgendwelche Lösungen - aber irgendwie kommt immerzu das falsche raus unglücklich

Probier jetzt schon seit Stunden......

Also die erste lautet

Zitat:

In ein gleichschenkliges Dreieck mit der Höhe h und der Grundseite g soll ein Rechteck mit möglichst großem Flächeninhalt eingeschrieben werden. Bestimmen Sie die Rechteckseiten a und b!

Lösung: a=\frac{1}{2}b und b=\frac{1}-{2}h

Anmerkung: a ist die Seite des Rechtecks, die parallel zu g ist, b die Rechteckseite, die parallel zu h ist. a liegt also an g an.

Und die zweite

Zitat:

In ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge L soll ein möglichst großes Rechteck einbeschrieben werden. Wie lang sind die Rechteckseiten a und b?

Lösung ist hier a=\frac{1}{2}l und ]b=\frac{\sqrt3}{4}l

Schreib bald ne Klausur, die anderen Aufgaben vom Zettel hab ich raus, aber bei denen brauch ich die Nebenbedingungen..... Wie gesagt, habs schon probiert, aber komm nie aufs Ergebnis unglücklich

Danke euch,

lg
Wolli

// Kommentar von Daniel: Sorry Fehleditiert :/ urzustandt wieder hergestellt

11.04.2004, 16:45

Deakandy

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RE: Extremwertbestimmung/Dreieck
Aalso was hast du denn als Ansätze...
Du kannst in dem ersten ne Menge Bedinungen rausholen...
Schau doch mal bitte in deinen Beitrag,..., da haste irgendwie mist mit dem Formeleditor gemacht...musst den Kram noch mit mimetex bearbeiten.
Vielleicht sieht man ja an deinem Ansatz schon schnell den fEhler smile

11.04.2004, 17:04

Wolli

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RE: Extremwertbestimmung/Dreieck
Also bei der zweiten Aufgabe hab ich als Ansatz

HB:

$\begin{align*} A=a*b \end{align*}$

NB:

$\begin{align*} h^2+\frac{l}{2}^2=l^2 \end{align*}$

woraus folgen würde

$\begin{align*} h=\sqrt{\frac{3}{4}}*l \end{align*}$

und als zweite NB

$\begin{align*} \frac{h}{b} \end{align*}$ = $\begin{align*} \frac{\frac{l}{2}}{\frac{l-a}{2}} \end{align*}$

(sorry, etwas fehleditiert, aber anders krieg ichs nicht hin...)

Die zweite NB würde ich jetzt nach h umstellen

$\begin{align*} h=\frac{l}{l-a}*b \end{align*}$

und die beiden dann gleichsetzen. Aber da kommt nur totaler kaudawelsch raus - hab den Teil der Rechnung leider nicht mehr hier liegen... Liegt der Fehler schon irgendwo im Ansatz? Wenn ja, wie mach ich weiter mit den beiden Nebenbedingungen?

Und bei der ersten Aufgabe häng ich ehrlich gesagt total... Vielleicht hab ich mittlerweile auch nur das berühmte "Brett vorm Kopf" (auf dem Aufgabenzettel sind 14 Aufgaben - die anderen 12 hab ich raus)...

Gruß
Wolli

11.04.2004, 18:41

MekB

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Also die erste Aufgabe würde ich so rechnen.

Zunächst würde ich das gleichschnklige Dreieck in der Hälfte Teilen, so das ein Dreieck mit einem rechten Winkel entsteht.

Diesem Dreieck können wir ja ebenfalls ein Rechteck einbeschreiben - nur das es bezogen auf unser Ausgangsdreieck halt nur 1/2A des Rechtecks besitzt - für unsere Rechnung ist es aber einfacher zunächst einml die Hälfte zu betrachten.

ein Dreieck mit einem rechtem Winkel kann man durch eine Funktion beschreiben - eine einfache Geradengleichung die da wäre:

g(x)=-g/2h*x+g/2

die Funktion ist natürlich nur im Intervall [0;h] definiert (für unser Dreieck).

Der Flächeninhalt des einbeschriebenen Rechtecks ist dann A=x*g(x)

und genauer für unser Ausgangsdreieck: A(ausgang)=2*A=2*x*g(x)
es spielt aber keine Rolle da in unserem vereinfachten Dreieck die Seite b des Rechtecks genauso groß ist, wie in unserem Ausgangsdreieck. Die Seite a ist halb so groß und muss einfach am ende mit 2 multipliziert werden.

also g(x) einfach einsetzen in A:

A=x*(-g/2h*x+g/2)

Der Flächeninhalt soll maximal werden, deshalb A(ausgang) Ableiten mit Null gleichsetzen und das maximum bestimmen:

für x also die b-Seite des Rechtecks erhalten wir x=b=h/2

jetzt noch g(h/2) berechnen was gleichbedeutend ist mit unserer a Seite des Rechtecks (fertigt eine skizze an wenn ihr es nicht nachvollziehen könnt) bzw 1/2*a für unser Ausgangsdreieck:

g(h/2)=g/4=1/s*a

-> a=g/2

für die Seitenlängen a=g/2 und b=h/2 ist der Flächeninhalt unseres Rechtecks maximal.

11.04.2004, 23:41

Wolli

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Supi, dank dir schonmal!
Die Lösung ist auf jeden Fall richtig... bliebe nur noch die zweite Aufgabe...

12.04.2004, 00:00

Deakandy

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Also ich vermute ja mal stark, dass die analog zu lösen ist...
Hast sogar im Dreieck ja noch eine nette Bedingung mehr
Gleichseitig,..., Höhe,...,=Seitenhalbierende,...,was war da mit pythagoras smile

14.04.2004, 02:41

Mechatroniker

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Eine mögliche Lösung für die zweite Aufgabe:

http://www.sibbarp.de/png/dreieck.png

$\begin{align*} \begin{array}{rcll} b & = & l-2x & \textrm{1. Nebenbedingung}\\ h^{2}+\left(\frac{l}{2}\right)^{2} & = & l^{2} & \textrm{Satz von Pythagoras}\\ h^{2} & = & l^{2}-\left(\frac{l}{2}\right)^{2} & \\ h^{2} & = & \frac{3}{4}l^{2} & \\ h & = & \frac{\sqrt{3}}{2}l & \\ \frac{a}{x} & = & \frac{h}{\frac{l}{2}} & \textrm{Strahlensatz}\\ a & = & \frac{2x}{l}\frac{\sqrt{3}}{2}l & \\ a & = & \sqrt{3}x & \textrm{2. Nebenbedingung}\\ F(a,b) & = & a\cdot b & \textrm{Hauptbedingung}\\ F(x) & = & \left(l-2x\right)\sqrt{3}x^{2} & \\ & = & l\sqrt{3}x-2\sqrt{3}x^{2} & \\ F^{,}(x) & = & l\sqrt{3}-4\sqrt{3}x & \\ 0 & = & l\sqrt{3}-4\sqrt{3}x_{\textrm{max}} & \\ x{}_{\textrm{max}} & = & \frac{l}{4} & \textrm{Maximalstelle}\\ \Rightarrow a_{\textrm{max}} & = & \frac{\sqrt{3}}{4}l & \\ \Rightarrow b_{\textrm{max}} & = & l-2\frac{l}{4}=\frac{l}{2} & \\ \Rightarrow F_{\textrm{max}} & = & \frac{\sqrt{3}}{8}l^{2} & \end{array} \end{align*}$

Ich habe hier x als Hilfsvariable eingeführt, wie man das ja oft bei solchen Extremwertaufgaben macht. Den Strahlensatz bzw. den Pythagoras-Satz würde ich nicht als Nebenbedingungen bezeichnen, schließlich benutzt man beide nur, um die zweite Nebenbedingung zu erhalten. Die Formel für die Flächenberechnung ist die Hauptbedinung, welche dann nur noch von x abhängt, wenn man die Nebenbedingungen einsetzt. Eine Rand- und Minimalwertbetrachtung habe ich ausser Acht gelassen.

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