Ableitung einer Wurzelfunktion

12.11.2005, 21:03

bounce

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Ableitung einer Wurzelfunktion

HEy leute ich verzweifel hier langsam ich kann nichtm it Wurzel ableiten
wäre schön wenn wer von euch mir die ersten 2 Ableitungen vorrechnen könntem it Erklärung damit ich das irgentwann mal verstehe smile

smile

also die FUnktion lautet:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x\sqrt{16-x^{2}} \end{eqnarray*}$

also ich würde es so machen

$\begin{eqnarray*} f'(x)=1((16-x^{2})^{1/2}+x(1/2(16-x^{2})^{-1/2}*(-2x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=1((16-x^{2})^{1/2}-2x^{2}(1/2(16-x^{2})^{-1/2} \end{eqnarray*}$

und was muss ich jetzt machen ??

danke schon mal im vorraus

greetz

12.11.2005, 21:06

Mathespezialschüler

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Ja, das ist richtig. Jetzt einfach nochmal ableiten.

Gruß MSS

12.11.2005, 21:08

mercany

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erledigt

12.11.2005, 21:57

bounce

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mhh kann man das nicht noch vereinfachen?? weil so gefällt mir das noch nicht smile

smile

wäre schön wenn wer mal das endergebnis mit umformungen vorrechnen könnte, weil so lässt man das doch nicht stehen oder doch?? Man kann das doch sicherlich noch umschreiben

gruss und danke

12.11.2005, 22:00

Mathespezialschüler

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Ich schreib es mal etwas schöner auf:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=(16-x^2)^{\frac{1}{2}}-\frac{2x^2}{2(16-x^2)^{\frac{1}{2}}} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du im zweiten Term die 2 kürzen und du könntest das ganze auf einen Hauptnenner bringen. Ob das aber so sinnvoll ist, um die 2. Ableitung einfacher zu berechnen, musst du selbst entscheiden.

Gruß MSS

12.11.2005, 22:05

mercany

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Also:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\sqrt{16-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{16-x^2}} = (16-x^2)^{\frac{1}{2}}-\frac{x^2}{(16-x^2)^{\frac{1}{2}}} \end{eqnarray*}$

Das Ende der Gleichung sollte deinem Ausgangsergebniss wieder nahe kommen!

Gruß, mercany

edit: hmm... leicht zu spät!

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12.11.2005, 23:12

bounce

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aha was wäre jetzt das v' bei der 2. Ableitung?

$\begin{eqnarray*} f''(x)=1/2(16-x^{2})^{-1/2}-x^{2}*(16-x^{2})^{-1/2} \end{eqnarray*}$

stimmt das?

greetz

12.11.2005, 23:14

20_Cent

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nein, das stimmt leider nicht.
beim ersten term hast du die innere ableitung vergessen und beim zweiten musst du die quotientenregel anwenden.
mfG 20

12.11.2005, 23:15

Mathespezialschüler

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Beim ersten Term hast du die innere Ableitung vergessen. (Bei der ersten hattest du die noch dabei).
Und den zweiten Term kannst du natürlich nicht einfach so lassen. Den musst du auch schon noch ableiten.

Gruß MSS

12.11.2005, 23:15

mercany

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Zitat:

Original von bounce
aha was wäre jetzt das v' bei der 2. Ableitung?

$\begin{eqnarray*} f''(x)=1/2(16-x^{2})^{-1/2}-x^{2}*(16-x^{2})^{-1/2} \end{eqnarray*}$

stimmt das?

greetz

Kommt drauf an, was erstmal dein $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist?

edit: Irgendwie hab ich die Frage wohl falsch verstanden... verwirrt

verwirrt

Gruß, mercany

12.11.2005, 23:24

bounce

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mhh hab auch was vergessen also nochmal smile

smile

so die erste war.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=(16-x^{2})^{1/2}-\frac{x^{2}}{(16-x^{2})^{1/2}} \end{eqnarray*}$

nun zur zweiten

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{1}{2}(16-x^{2})^{-1/2}*(-2x)-2x*(16-x^{2})^{1/2}-x^{2}*\frac{1}{2}(16-x^{2})^{-1/2}*(-2x)/(16-x^{2}) \end{eqnarray*}$

und nun ist das immer so viel oder ist es oberhaupt so weit richtig ? ^^

greetz

12.11.2005, 23:34

20_Cent

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nein, das stimmt nicht, benutz doch die quotientregel.
wenn du die nicht kennst, such hier
mfG 20

12.11.2005, 23:41

bounce

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ich weis wie sie geht

u'v-uv'/v^2 allerdings ist mir das hier ein wenig konfus

den term vor dem minus muss ich doch seperat ableiten und den zweiten mit der quotientenregl oder?

kannst du mir das mal vorzeigen bitte smile

smile

gretz

12.11.2005, 23:43

mercany

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Zitat:

Original von bounce
$\begin{eqnarray*} f'(x)=(16-x^{2})^{1/2}-\frac{x^{2}}{(16-x^{2})^{1/2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = g(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)= u(x) - v(x) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} u(x) = (16-x^{2})^{1/2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(x) = \frac{x^{2}}{(16-x^{2})^{1/2}} \end{eqnarray*}$

Dann ist:
$\begin{eqnarray*} g'(x) = u'(x) - v'(x) \end{eqnarray*}$

So, zeig vielleicht mal, was du für $\begin{eqnarray*} u'(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v'(x) \end{eqnarray*}$ heraus hast. Und bitte mit Rechenweg!

Gruß, mercany

12.11.2005, 23:48

bounce

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okay

$\begin{eqnarray*} u'=1/2(16-x^{2})^{-1/2}*(-2x)=-x(16-x^{2})^{-1/2} \end{eqnarray*}$

mhh und v' ist dann quotientenregel oder? ka wie ich v' ableiten kann wenn es mit der quottientenregl ist ,dann bin ich der meinung das ich diese schon genommen hab mich warscheinlich nur verschrieben oder?

gretz

12.11.2005, 23:55

mercany

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Hi!

Also $\begin{eqnarray*} u'(x) \end{eqnarray*}$ passt schonmal.

Jetzt zu $\begin{eqnarray*} v(x) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} v = \frac{t}{h} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t = x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h = (16-x^2)^{1/2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v' = \frac{t'\cdot h - t \cdot h'}{h^2} \end{eqnarray*}$

Wo ist das Problem?

Gruß, mercany

13.11.2005, 00:04

bounce

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okay dann nochmal smile

smile

$\begin{eqnarray*} f''=-x(16-x^{2})^{-1/2}-\frac{2x*(16-x^{2})^{1/2} - x^{2}*1/2(16-x^{2})^{-1/2}*(-2x)}{(16-x^{2})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=-x(16-x^{2})^{-1/2} - (32x-2x^{3})^{1/2}+x^{3}(16-x^{2})^{-1/2} \end{eqnarray*}$

soweit richtig?

13.11.2005, 00:07

mercany

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Jap!

Freude

13.11.2005, 00:10

bounce

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wenn ich jedoch dran denke ich müsste jetzt zb. die Wendepukte bestimmen dann muss ich doch f''(x)=0 setzen jedoch hab ich doch dann probleme oder müsste ich dann net wieder umformen das ich wieder ne wurzel habe ??

greetz

13.11.2005, 00:27

20_Cent

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ich würd das ganze auf den hauptnenner bringen und dann nur den zähler gleich null setzen. Außerdem würde ich dieses
$\begin{eqnarray*} {(...)}^{1/2} \end{eqnarray*}$
besser als
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(...)} \end{eqnarray*}$
schreiben, bzw.
$\begin{eqnarray*} {(...)}^{-1/2} \end{eqnarray*}$
als
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{(...)}} \end{eqnarray*}$
mfG 20

13.11.2005, 00:43

mercany

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$\begin{eqnarray*} f(x)'' &=&-x(16-x^{2})^{-1/2}-\frac{2x*(16-x^{2})^{1/2} - x^{2}*1/2(16-x^{2})^{-1/2}*(-2x)}{(16-x^{2})} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x) =\frac{x}{\sqrt{16-x^2}} - \frac{x(x^2-32)}{(16-x^2)^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray*}$

Gruß, mercany

13.11.2005, 12:49

bounce

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mhh soweit so gut aber mercany wie kommts du jetzt auf das ergebnis nach dem minus ? also bei f''(x)=..... - das dann ?

greetz danke für eure hilfe habs jetzt so verstanden aber das mit hauptnenner noch net ^^

13.11.2005, 17:02

mercany

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Hi!

Wink

Also, dann wollen wir uns mal an die Schreibarbeit machen:

$\begin{eqnarray*} f(x)'' &=&-x(16-x^{2})^{-\frac{1}{2}}-\frac{2x\cdot(16-x^{2})^{\frac{1}{2}} - x^{2}\cdot \frac{1}{2}(16-x^{2})^{-\frac{1}{2}} \cdot(-2x)}{(16-x^{2})} \\\\ &=& -\frac{x}{(16-x^2)^{\frac{1}{2}}} + \frac{2x^3 - 32x + x^3(16-x^2)^{-\frac{1}{2}}}{16-x^2} \\\\ &=& -\frac{x}{(16-x^2)^{\frac{1}{2}}} + \frac{2x^3-32x +x^3}{(16-x^2)^{\frac{3}{2}}} \\\\ &=& \frac{x}{(16-x^2)^{\frac{1}{2}}} - \frac{-x^3 + 32x}{(16-x^2)^{\frac{3}{2}}} \\\\ &=& \frac{x}{(16-x^2)^{\frac{1}{2}}} - \frac{x(x^2-32)}{(16-x^2)^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray*}$

Gruß, mercany

13.11.2005, 17:05

20_Cent

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bist du sicher, dass das so stimmt?
das kann ich auch nicht ganz nachvollziehen...
mfG 20

15.11.2005, 22:58

bounce

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mhhh wie kommst du da auf (16-x^2)^(3/2) im nenner?

ich werd nochmal sebler nachrechnen aber danke für die Mühe ^^

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