Rationale zahl zwischen zwei reellen zahlen

12.11.2005, 21:44	maxhase	Auf diesen Beitrag antworten »
Rationale zahl zwischen zwei reellen zahlen Mahlzeit, ich hab mal wieder meinen wöchentlichen Zettel und versteh so gut wie nur Bahnhof: Ich soll erstens beweisen, dass zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen stets eine rationale Zahl liegt, am besten mit Hilfe von $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ und als Zweites: zwischen zwei rationalen Zahlen soll stets eine irrationale Zahl liegen, ebenfalls evtl. mit Hilfe von $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ Das Zweite ist mir vom gesunden Menschenverstand her klar, aber wie zum Geier beweist man sowas?
12.11.2005, 21:53	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
nennen wir die 2 reellen Zahlen mal a und b, dann betrachte mal die Zahl 1/\|a-b\| die kann ziemlich groß sein, aber es gibt ganz bestimmt ganze Zahlen die noch größer sind. Damit kann man zeigen, das es eine rationale Zahl zwischen a und b gibt. zweitens geht so ähnlich, nur das man a- $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ und b- $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ betrachtet.
12.11.2005, 21:55	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht, was du da mit $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ meinst. Du sollst es doch für alle Zahlen beweisen, da reicht es nicht, wenn du es an einem Beispiel zeigst. edit: Achso, so ist das gemeint. Gruß MSS
12.11.2005, 22:03	maxhase	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, klar, 1/0.00001 ist 100000. Und egal wie groß dat wird, es gibt natürlich immer eine größere natürliche Zahl. Aber wie zeige ich damit, dass es zwischen a und b noch eine rationale Zahl gibt? Analog das Zweite...
13.11.2005, 12:27	maxhase	Auf diesen Beitrag antworten »
ich raff's nicht. Also noch mal von vorne... Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen liegt stets eine irrationale. Zu zeigen mit Hilfe von $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ , die ja irrational ist. Die zwei rationalen Zahlen seien $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ . Ich denke mir, dass man $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ irgendwie schachteln muss, um dann zu zeigen, dass in diesem Intervall immer noch eine (unendlich viele) Zahl(en) liegen. Also nach dem Motto $\begin{eqnarray} a = 0.001 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b = 0.002 \end{eqnarray}$ . Dann liegt natürlich $\begin{eqnarray} 0.0011 \end{eqnarray}$ dazwischen, zwischen $\begin{eqnarray} 0.0011 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0.0012 \end{eqnarray}$ liegt $\begin{eqnarray} 0.00111 \end{eqnarray}$ usw... Aber wie setze ich das in eine Formel um? Und dann noch mit $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ ???
13.11.2005, 15:02	Marcyman	Auf diesen Beitrag antworten »
Wähle x = a + (b-a)/sqrt(2) wird weiterhelfen, jetzt nur noch beweisen dass x>a, x<b und x irrational ist und fertig.
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13.11.2005, 19:38	maxhase	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, ich habe jetzt folgendes getan: $\begin{eqnarray} x = a + \frac{b-a}{\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} a = n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b = n+1 \end{eqnarray}$ , denn b soll ja der rationale Nachfolger von a sein. und dann per vollständiger Induktion bewiesen: $\begin{eqnarray} n + \frac{n+1-n}{\sqrt{2}} > n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 + \frac{1+1-1}{\sqrt{2}} > 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2}} > 0 \end{eqnarray}$ und das ist klar... für $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ kommt ebenfalls raus $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2}} > 0 \end{eqnarray}$ das sollte wohl stimmen... dann den ganzen Kram nochmal für $\begin{eqnarray} n + \frac{n+1-n}{\sqrt{2}} < n+1 \end{eqnarray}$ das wäre dann für $\begin{eqnarray} n = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 + \frac{1+1-1}{\sqrt{2}} < 1+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} < 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2}} < 1 \end{eqnarray}$ stimmt wohl auch... dann für $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n + 1 + \frac{n+2-n-1}{\sqrt{2}} < n+2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2}} < 1 \end{eqnarray}$ interessanterweise wieder dasselbe Ergebnis... hoffe das stimmt. Kann das mal jemand kontrollieren und mir sagen, ob das so geht? Wie beweise ich jetzt, dass x irrational ist?
13.11.2005, 20:23	IchDerRobot	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo maxhase, was soll der "rationale Nachfolger" sein? Du weisst, dass 0 < 1 / sqrt(2) < 1 ist. Das sollte reichen, um die Ungleichungen zu zeigen. Um zu zeigen, dass a + (b-a) / sqrt(2) irrational ist, nimmst du an, dieser Ausdruck wäre rational, und stellst ihn solange um, bis du erhältst, dass dann auch sqrt(2) rational ist. Robot

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