Geschlossener Term für Summe von Produkten von Binomialkoeffizienten

13.11.2005, 17:41

Zero

Geschlossener Term für Summe von Produkten von Binomialkoeffizienten

Hey,
ich habe ein großes Problem traurig

:

Bestimmen Sie
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} m \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} m \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} m \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ +.....+ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} m \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , m,n aus N, k kleiner oder gliech min(m,n)

Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte!!!

Titel geändert, bitte wähle einen aussagekräftigen Titel! (MSS)

13.11.2005, 17:42

20_Cent

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ich würde das als Summe schreiben und schaun, ob sich was kürzen lässt.
mfG 20

13.11.2005, 17:54

Zero

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Also, ich habe auch schon über eine Summe nachgedacht.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~k \end{eqnarray*}$
Aber was setzen wir jetzt ein? Müssen wir da n über k einsetzen?

13.11.2005, 17:58

20_Cent

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in die Summe gehören 2 Binomialkoeffizienten, einer läuft unten von 0 bis k und einer von k bis 0
mfG 20

13.11.2005, 18:11

Zero

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der von 0 bis k läuft ist ja kein Problem, aber der andersherum läuft lässt sich doch nicht in die selbe Summe schreiben, oder?

13.11.2005, 18:17

20_Cent

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doch, was muss man denn da rein schreiben, damit es immer kleiner wird, von n bis 0?
mfG 20

14.11.2005, 11:13

Zero

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Also ich nehme doch die Summe von k=0 bis k. In das Summenzeichen kommt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} m \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ ??? \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Was muss ich für die Fragezeichen schreiben??? Ich weiß nicht wie ich ausdrücken soll, dass das nun bei k anfängt und gegen 0 gehen muss....

14.11.2005, 11:38

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Ein Alternativweg: Betrachte mal den Koeffizienten vor $\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$ des Polynoms $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+m}=(1+x)^n \cdot (1+x)^m \end{eqnarray*}$ , indem du den Binomischen Satz auf alle drei Potenzterme $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+m},(1+x)^n,(1+x)^m \end{eqnarray*}$ anwendest.

14.11.2005, 15:06

Zero

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Hmm....danke für den Tipp, aber damit kann ich jetzt leider gar nichts anfangen traurig

14.11.2005, 15:11

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Tja, schade. Das ganze nämlich noch im Zusammenhang zur Cauchy-Produktformel betrachtet erledigt die Sache im Handumdrehen.

14.11.2005, 19:08

20_Cent

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Zitat:

Original von Zero
Also ich nehme doch die Summe von k=0 bis k. In das Summenzeichen kommt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} m \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ ??? \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Was muss ich für die Fragezeichen schreiben??? Ich weiß nicht wie ich ausdrücken soll, dass das nun bei k anfängt und gegen 0 gehen muss....

das muss $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} m \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ ??? \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
sein...
überleg nochmal: was ergibt, wenn man 0 einsetzt k... und was, wenn man k einsetzt 0?
mfG 20

PS: Ich würde die Summe mit einem anderen index laufen lassen, sonst kommst du durcheinander... z.B. i, oder j

14.11.2005, 19:45

Zero

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Ich glaube, jetzt habe ich die Lösung, danke 20Cent Tanzen

Also ich berechne jetzt

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^k~ \begin{pmatrix} m \\ j \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} n \\ k-j \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hoffe, dass das nun richtig ist!!! Big Laugh

14.11.2005, 19:50

Mathespezialschüler

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Siehe dazu hier.

Gruß MSS

15.11.2005, 12:07

Leopold

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Man kann den Wert fast ohne jede Rechnung bestimmen, wenn man kombinatorisch argumentiert. Dazu muß man nur wissen, daß es $\begin{eqnarray*} {n \choose k} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten gibt, aus $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Objekten $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ "auf einmal" (also ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) auszuwählen.

Jetzt betrachte $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ Herren und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Damen, also zusammen $\begin{eqnarray*} m+n \end{eqnarray*}$ Personen. Wähle aus dieser Gruppe $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Personen aus. Wie viele Möglichkeiten dafür gibt es?

Unter diesen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Personen können

$\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ Herren und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Damen sein: wie viele Möglichkeiten?
$\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ Herr und $\begin{eqnarray*} k-1 \end{eqnarray*}$ Damen sein: wie viele Möglichkeiten?
$\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ Herren und $\begin{eqnarray*} k-2 \end{eqnarray*}$ Damen sein: wie viele Möglichkeiten?
...
$\begin{eqnarray*} k-2 \end{eqnarray*}$ Herren und $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ Damen sein: wie viele Möglichkeiten?
$\begin{eqnarray*} k-1 \end{eqnarray*}$ Herren und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ Dame sein: wie viele Möglichkeiten?
$\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Herren und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ Damen sein: wie viele Möglichkeiten?

Und jetzt liegt die Formel auf der Hand. Rechnung überflüssig.

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