Beschränkte, divergente Folge

22.04.2008, 08:43	Egon	Auf diesen Beitrag antworten »
Beschränkte, divergente Folge Hi! Ich beschäftige mich in meinem Kurs gerade mit Folgen und Reihen. Da wurden der Raum $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ aller Folgen, der Raum $\begin{eqnarray} \ell^\infty \end{eqnarray}$ der beschränkten Folgen und der Raum $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ der konvergenten Folgen erklärt. Entsprechend muss es also mindestens eine Folge geben, die beschränkt, aber nicht konvergent ist. Eine sehe ich sofort: $\begin{eqnarray} a_n := (-1)^n \end{eqnarray}$ Frage: Gibt es (abgesehen von den Vielfachen dieser Folge) noch andere Folgen, in $\begin{eqnarray} \ell^\infty \end{eqnarray}$ , nicht aber in $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ sind? Danke & Gruss
22.04.2008, 08:57	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beschränkte, divergente Folge Nun ja, die Folge b_n = sin(n) ist auch nicht übel.
22.04.2008, 09:01	TobeStar81	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beschränkte, divergente Folge Hi Egon, natürlich gibt es noch viel mehr Folgen. Alle Folgen, die mehr als einen Häufungspunkt haben und bei denen nur endlich viele Elemente außerhalb der $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ -Umgebung dieser HP liegen. Schnell konstruieren kann man sich beschränkte nicht konvergenten Folgen auch. Vlt erinnerst du dich, dass jede Folge mit einem HP eine konvergente Teilfolge hat. Jetzt gehst du den Weg einfach rückwärts: Du nimmst zwei konvergente Folgen $\begin{eqnarray} (a_n), (b_n) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lim (a_n) = a, \lim (b_n) = b \end{eqnarray}$ und ganz wichtig: $\begin{eqnarray} a \neq b \end{eqnarray}$ (warum?). Dann definierst du: $\begin{eqnarray} (c_n) = (a_1, b_1, a_2, b_2, a_3, b_3, \dots) \end{eqnarray}$ und voilá... Gruß Tobias
22.04.2008, 09:17	Egon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beschränkte, divergente Folge @klarsoweit Logisch! An Folgen dieser Art habe ich gar nicht gedacht. @ TobeStar81 Das mit der konvergenten Teilfolge habe ich noch nicht gesehen, werde mich aber damit befassen. Wenn a=b wäre, dann hätten die Teilfolgen a_n und b_n den gleichen Grenzwert und damit würde dann die Folge c_n ebenfalls gegen diesen Grenzwert konvergieren.
22.04.2008, 10:59	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau.

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