Formel für Abstand Gerade Punkt

22.04.2008, 08:57

OLI

Formel für Abstand Gerade Punkt

Hallo zusammen,

ich weiss dass es schon Einträge zu dem Thema gibt, ich weiss auch wie man die Aufgaben löst. Ich suche allerdings eine Formel, bei der ich nur die Koordinaten zweier Punkte einer Gerade sowie die Koordinaten des Punktes einsezte und dann der kleinste Abstand zwischen der Geraden und dem Punkt dabei rauskommt.

Nach ein bischen rumtüfteln habe ich eine Formel gefunden, die aber leider nicht funktioniert und ich weiss nicht wo der Fehler liegt:

Punkt Q (xp;yp)
Punkte auf der Geraden g: G1(xg1;yg1); G2(xg2;yg2)

Distanz d=abs(((xg1-xg2)*(yg2-yp)-(xg2-xp)*(yg1-yg2))/sqrt((xg1-xg2)²+(yg1-yg2)²))

Entschuldigt, aber der latexeditor bereitet mir grosse Schwierigkeiten!

Vielen Dank im Voraus
OLI

22.04.2008, 09:40

tigerbine

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RE: Formel für Abstand Gerade Punkt
Willkommen

und einen Gruß in den Norden.

Wo "leben" denn deine Punkte? Im IR²?

$\begin{eqnarray*} Q (x_p;y_p),~ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g:~ G_1(x_{g1};y_{g1});~ G_2(x_{g2};y_{g2}) \end{eqnarray*}$

Nun stellen wir einmal die Punkt-Richtungsform (Parameterform) der Geraden auf. In Vektoren-Schreibweise:

$\begin{eqnarray*} g:~\vec{x} = \overrightarrow{OG_1} + \lambda \cdot\overrightarrow{G_1G_2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g:~\vec{x} = \begin{pmatrix} x_{g1} \\ y_{g_2} \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} x_{g_2}-x_{g_1} \\ y_{g_2}-y_{g_1}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ging zwar einfach, nützt uns aber noch nichts was die Abstandsberechnung betrifft. Dazu Brauchen wir die Normalenform.

22.04.2008, 09:50

OLI

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RE: Formel für Abstand Gerade Punkt
wenn IR² sich auf ein klassisches zweidimensionales cartesisches Koordinatensystem bezieht, dann reden wir von der gleichen Sache. IR² kannte ich bisher nicht, sieht aber schick aus!
Wink

(in den Süden??)

22.04.2008, 09:54

tigerbine

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RE: Formel für Abstand Gerade Punkt
Wenn Du klassisch mit Reelen Zahlen, let's call them $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , rechnest, und das nun auch noch in 2 Dimensionen, so nennen wir diesen Raum (Vektorraum) auch den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ .

Mir ging es um die ()², da nur so sich die Gerade in der Normalenform darstellen läßt. (Siehe link oben). Du kannst deinen Beitrag oben editieren.

Erste Schritte im Board

Wie kann man Formeln schreiben?

Gruß aus dem Süden. Augenzwinkern

22.04.2008, 10:43

OLI

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RE: Formel für Abstand Gerade Punkt
Meinen obigen Eintrag kann ich grad nicht editieren, der sagt mir es sei noch keine 15 Minuten her...
Befinde mich im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{2} \end{eqnarray*}$ , das kenn ich auch, hab nur die IR Schreibweise nicht gecheckt...

Ich würd im Prinzip gern auf die Vektorrechnung verzichten. Gibt es nicht einen Weg über die Zweipunkteform der Geraden zum gesuchten Abstand zu kommen?

22.04.2008, 11:29

TheWitch

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RE: Formel für Abstand Gerade Punkt

Zitat:

Original von OLI
Ich würd im Prinzip gern auf die Vektorrechnung verzichten. Gibt es nicht einen Weg über die Zweipunkteform der Geraden zum gesuchten Abstand zu kommen?

Die Idee ist ja gar nicht schlecht, allerdings von dir schlecht ausgeführt, da du oben eben keine Geradengleichung in Zwei-Punkte-Form verwendet hast – erkennbar daran, dass bei dir kein „blankes“ x (also eins ohne Index) auftaucht.
Für den Abstand d zwischen einem beliebigen Punkt P(x;y) der Geraden und deinem Punkt $\begin{eqnarray*} Q(x _{Q};y _{Q}) \end{eqnarray*}$ gilt nämlich:
$\begin{eqnarray*} d^2 = (x - x _{Q})^2 + (y - y _{Q})^2 \end{eqnarray*}$

Setzt du für y die Geradengleichung in Zwei-Punkte-Form ein, erhältst du einen Ausdruck, der von x abhängt. Dieser beschreibt eine quadratische Funktion, deren Minimum (Scheitel der zugehörigen Parabel) du bestimmen kannst. (Das ist einigermaßen tricksig, so lange du keine konkreten Werte für die Geradenpunkte und Q annimmst – aber es ist machbar.) Den Abstand selber erhältst du, wenn du am Schluss die Wurzel aus dem y-Wert des Scheitels ziehst.

22.04.2008, 11:31

tigerbine

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RE: Formel für Abstand Gerade Punkt
Was hast Du gegen Vektorrechnung? Big Laugh

Nun erstmal die Normalenform. Im IR² ist ein Vektor dann auch schnell gefunden. Dazu verwenden wir das euklidische Skalarprodukt.

$\begin{eqnarray*} g:~\vec{x} = \begin{pmatrix} x_{g1} \\ y_{g_2} \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} x_{g_2}-x_{g_1} \\ y_{g_2}-y_{g_1}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <\begin{pmatrix} x_{\hat {n}} \\ y_{\hat {n}} \end{pmatrix},~ \begin{pmatrix} x_{g_2}-x_{g_1} \\ y_{g_2}-y_{g_1}\end{pmatrix} >\stackrel{!}=0 \end{eqnarray*}$

Das ergibt dann:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x_{\hat{n}} \cdot (x_{g_2}-x_{g_1}) + y_{\hat {n}} \cdot (y_{g_2}-y_{g_1})} \stackrel{!}=0 \end{eqnarray*}$

Wir wählen:

$\begin{eqnarray*} \vec{\hat {n}}= \begin{pmatrix} y_{g_2}-y_{g_1} \\ -(x_{g_2}-x_{g_1})\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun muss dieser Vektor noch normiert werden. Auch nicht weiter schlimm.

$\begin{eqnarray*} \vec{n}=\frac{1}{\sqrt{(y_{g_2}-y_{g_1})^2+(-(x_{g_2}-x_{g_1}))^2}} \begin{pmatrix} y_{g_2}-y_{g_1} \\ -(x_{g_2}-x_{g_1})\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie sieht nun die Normalenform aus?

$\begin{eqnarray*} \vec{r}\cdot\vec{n}-c=0 \end{eqnarray*}$

c bestimmt man nun durch einsetzen eines beliebigen Punktes auf der Geraden, warum also nicht G1.

$\begin{eqnarray*} c &&=\begin{pmatrix} x_{g1} \\ y_{g_2} \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{(y_{g_2}-y_{g_1})^2+(-(x_{g_2}-x_{g_1}))^2}} \begin{pmatrix} y_{g_2}-y_{g_1} \\ -(x_{g_2}-x_{g_1})\end{pmatrix} \\&&= \frac{1}{\sqrt{(y_{g_2}-y_{g_1})^2+(-(x_{g_2}-x_{g_1}))^2}} \cdot [x_{g1}(y_{g2}-y_{g_1}) - y_{g2}(x_{g2}-x_{g_1})] \end{eqnarray*}$

Damit erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{(y_{g_2}-y_{g_1})^2+(x_{g_2}-x_{g_1})^2}} \cdot \vec{r} \cdot \begin{pmatrix} y_{g_2}-y_{g_1} \\ -x_{g_2}+x_{g_1}\end{pmatrix} + \frac{1}{\sqrt{(y_{g_2}-y_{g_1})^2+(x_{g_2}-x_{g_1})^2}} \cdot [x_{g1}(y_{g2}-y_{g_1}) - y_{g2}(x_{g2}-x_{g_1})] = 0 \end{eqnarray*}$

Nun können wir aber nicht nur Punkte r die auf der Geraden liegen einsetzen. Dann steht auf der rechten Seite nur nicht mehr 0, sondern der orientierte Abstand. Für den reinen Abstand wählen wir deshalb den Betrag. Vorher noch ein Zwischenschritt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_{p} \\ y_{p} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y_{g_2}-y_{g_1} \\ -x_{g_2}+x_{g_1}\end{pmatrix} = x_{p}(y_{g_2}-y_{g_1}) + y_{p}(-x_{g_2}+x_{g_1}) \end{eqnarray*}$

Klammert man nun noch, so ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{[x_{p}(y_{g_2}-y_{g_1}) + y_{p}(-x_{g_2}+x_{g_1})] + [x_{g1}(y_{g2}-y_{g_1}) - y_{g2}(x_{g2}-x_{g_1})] }{\sqrt{(y_{g_2}-y_{g_1})^2+(x_{g_2}-x_{g_1})^2}} \right|= d \end{eqnarray*}$

Wie sah nun deine Formel aus?

Zitat:

Distanz d=abs(((xg1-xg2)*(yg2-yp)-(xg2-xp)*(yg1-yg2))/sqrt((xg1-xg2)²+(yg1-yg2)²))

Wie bist Du darauf gekommen?

22.04.2008, 13:11

OLI

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Vielen Dank für die Formel!!
Dabei hab ich dann zuerst festgestellt, dass meine Formel das gleiche Ergebnis liefert und danach, dass ich mich lediglich bei der Überprüfung ihrer Richtigkeit mit einem blöden Denkfehler vertan habe.

Jetzt ist das Forum halt um eine/(zwei) Formeln reicher...

Vielen Dank an alle und bis zum nächsten Mal
OLI

22.04.2008, 13:23

mYthos

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Mit der Hesse'schen Normalform - ausgehend von der Zweipunktform der Geraden - dauert die Rechnung gerade mal 3 Zeilen:

$\begin{eqnarray*} (x_1; y_1) \ \text{und} \ (x_2; y_2) \ \ \text{Punkte auf der Geraden}, \ P(x_p; y_p) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (y_2 - y_1)x - (x_2 - x_1)y -x_1(y_2 - y_1) + y_1(x_2 - x_1) = 0 \ \text{Zweipunktform} \end{eqnarray*}$

HNF und für x,y nun P einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{(y_2 - y_1)x_p - (x_2 - x_1)y_p -x_1(y_2 - y_1) + y_1(x_2 - x_1)}{\sqrt{(y_2 - y_1)^2 + (x_2 - x_1)^2}} \right| = d \end{eqnarray*}$

mY+

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