Unendlichdimensionaler Vektorraum

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14.11.2005, 13:40

sofit

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Unendlichdimensionaler Vektorraum

Wie kann ich beweisen, dass der Vektorraum P der ganz-rationalen Funktionen nicht endlichdimensional ist.

14.11.2005, 14:16

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Z.B. indem du eine unendliche Menge linear unabhängiger Vektoren angibst.

14.11.2005, 14:32

sofit

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Unendlichdimensionaler Vektorraum
Sie meinen, dass ich zeigen muss, dass:

P0(x)=a0
P1(x)=a1+b1*x

P1(x)=a1+b1*x
P2(x)=a2+b2*x+c2*x^2

...

Pn(x)=an+bn*x+...+nnx^n
Pk(x)=ak+bk*x+...+kkx^k, wobei k = n + 1

linear unabhaengig sind?

14.11.2005, 14:34

sqrt(2)

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14.11.2005, 14:37

sofit

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Entschuldigung.

14.11.2005, 14:42

sqrt(2)

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Zum Thema: Der Punkt ist, dass du nur eine ganz konkrete unendliche Menge von Vektoren geben musst, die linear unabhängig sind.

14.11.2005, 15:20

Mathespezialschüler

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Oder du nimmst an, der Raum wäre endlich und nimmst dir eine Basis. In der suchst du dir ein spezielles Polynom raus und konstruierst damit ein Polynom, was nicht im Erzeugnis der Basis liegt. Widerspruch.

Gruß MSS

14.11.2005, 16:32

Leopold

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Reden wir nicht um den heißen Brei herum. Man zeige:

Für $\begin{eqnarray*} k=0,1,2,\ldots \end{eqnarray*}$ sind die Funktionen $\begin{eqnarray*} e_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} e_k(x) = x^k \end{eqnarray*}$ linear unabhängig. (Offenbar erzeugen die $\begin{eqnarray*} e_k \end{eqnarray*}$ den Vektorraum, sie bilden damit eine Basis.)

(Vorsicht übrigens! Gehen wir sicherheitshalber von $\begin{eqnarray*} K= \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ als zugrundeliegendem Körper aus, betrachten wir also die reellen ganzrationalen Funktionen. Über dem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ mit zwei Elementen gilt nämlich z.B. $\begin{eqnarray*} e_1 = e_2 = e_3 = \ldots \end{eqnarray*}$ , wenn man die mengentheoretische Gleichheitsdefinition von Funktionen hernimmt. Anders sieht es natürlich aus, wenn man diese Ausdrücke als formale Polynome in einer Unbestimmten $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auffaßt. Aber jetzt wird's doch recht algebraisch ...)

Und wenn man bei $\begin{eqnarray*} K = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ annimmt, es bestünde eine Relation

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~\lambda_k e_k = 0 \end{eqnarray*}$

mit Skalaren $\begin{eqnarray*} \lambda_k \end{eqnarray*}$ , so kann man sofort etwas über die $\begin{eqnarray*} \lambda_k \end{eqnarray*}$ folgern, wenn man in der obigen Gleichung zu den Funktionswerten übergeht und den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ durchführt. Sind nämlich nicht alle $\begin{eqnarray*} \lambda_k \end{eqnarray*}$ gleich 0, so hätte man links eine ganzrationale Funktion von einem Grad $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Und da kennt man ja das Verhalten im Unendlichen.

14.11.2005, 17:51

IchDerRobot

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Hallo Leopold,

deine Bemerkung "Aber jetzt wird's doch recht algebraisch" klingt irgendwie seltsam, hier im Algebra-Brett. Augenzwinkern

Du hast natuerlich recht, dass man im Allgemeinen streng unterscheiden muss zwischen einem Polynom und der zugehoerigen Polynomfunktion, ebenso zwischen einer "rationalen Funktion" als Bruch von Polynomen und der zugehoerigen Funktion.

Die lineare Unabhaengigkeit der Monome im Polynomring ueber einem Koerper (oder einem beliebigen Ring) ist per Definition gegeben, wenn ich mich recht erinnere (zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten uebereinstimmen).

Robot

14.11.2005, 19:25

Leopold

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Zitat:

Original von IchDerRobot
Die lineare Unabhaengigkeit der Monome im Polynomring ueber einem Koerper (oder einem beliebigen Ring) ist per Definition gegeben

Schon - wenn man diese Definition der Algebra zugrunde legt. Doch bin ich mir nicht sicher, ob sofit das kennt. Bei der mengentheoretischen Auffassung gilt das nämlich nicht zwangsläufig, wie ich bereits ausgeführt habe. Am besten, der/die Fragesteller(in) teilt uns alle Voraussetzungen mit und läßt uns nicht raten, worum es überhaupt geht ...

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