Moduln über Hauptidealringen |
| 14.11.2005, 15:37 | Em'A'Ce | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Moduln über Hauptidealringen ich habe hier eine Aufgabe vor mir liegen, bei der mir irgendwie der richtige Ansatz fehlt. Sei R ein kommutativer Ring mit 1, sodass jeder Untermodul eines freien R-Moduls wieder frei ist. Zeigen Sie, dass R ein Hauptidealring ist. Mir wurde als Tipp genannt, ich solle es doch mal über Kontraposition versuchen, leider hilft mir das nicht weiter... Ich bin für jede Hilfe dankbar Matze |
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| 14.11.2005, 16:39 | IchDerRobot | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Matze, ich gebe dir einen Denkansatz: Betrachte einen komm. Ring R mit 1, der kein Hauptidealring ist. Du sollst zeigen, dass es einen freien R-Modul gibt, der einen Untermodul besitzt, welcher nicht frei ist. Nun ist R selbst als R-Modul frei mit Basis 1. Das nach Voraussetzung existente Nichthauptideal I ist ein R-Untermodul von R. Vielleicht ist das ja nicht frei. Robot |
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| 16.11.2005, 13:32 | Em'A'Ce | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi Robot, ok, des leuchtet mir ein. Wenn ich den regulären Modul nehme und als Untermodul ein nicht Hauptideal, dann ist der Modul frei, aber des Untermodul nicht, weil ich keine Basis finden kann. Danke! 
Aber dann muss ich ja zu meiner Gegenannahme noch die zweite Folge widerlegen: R ist nicht nullteilerfrei. Wie mache ich des dann? Ich dachte eigentlich, dass ich dann sagen kann, dass jedes Modul über R Torsionselemente enthält und deshalb nicht frei sein kann. Aber leider gilt der Satz nur für nullteilerfreie Moduln. Somit brauche ich da nochmal nen kleinen Denkanstoß. MfG Matze |
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| 16.11.2005, 15:17 | IchDerRobot | Auf diesen Beitrag antworten » |
Achso! Meine Idee war also: Wenn der Ring R ein Nichthauptideal besitzt, dann gibt es einen freien R-Modul mit nichtfreiem Untermodul. Es fehlt der Nachweis von: Wenn der Ring R nicht nullteilerfrei ist, dann gibt es einen freien R-Modul mit nichtfreiem Untermodul. Versuchen wir es wieder mit R als R-Modul. Der ist immer noch frei mit Basis 1. Seien a und b in R ungleich 0 mit a*b = 0, und wir betrachten das von b erzeugte Hauptideal <b> = R*b. Dieser Untermodul ist vermutlich nicht frei, ich weiß nur noch nicht warum. 
Es reicht ja nicht zu zeigen, dass {b} keine Basis ist (das ist leicht wegen 0 = 0*b = a*b), sondern es darf überhaupt keine Basis geben.Robot |
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