Beweis für den Erwartungswert einer Binomialverteilung

14.11.2005, 18:01

Yggr

Beweis für den Erwartungswert einer Binomialverteilung

moin,
Ich verstehe den Beweis für den ERwartungswert nicht...

$\begin{eqnarray*} E(X) = \sum_{k=0}^n~k \cdot P(X = k) = \sum_{k=0}^n~k \cdot \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^{k}q^{n-k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum_{k=1}^n~k \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} p^{k}q^{n-k} \end{eqnarray*}$
bis hier kein Problem, nur wieso wird hier schon auf k = 1 gewechselt und nicht erst im nächsten Schritt (Druckfehler?!)

Den Schritt verstehe ich nicht ganz:
$\begin{eqnarray*} n! = n(n-1)! \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (n - k)! = ( n - k (- 1 + 1))! \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum_{k=1}^n~k \frac{n(n-1)!}{k(k-1)!(n-1-k+1)!} p^{k}q^{n-k} \end{eqnarray*}$
ok - k kürzt sich weg und das n wird vorgestellt - kein Problem - nur wieso steht unter dem Summenzeichen k = 1 und nicht wie vorher k = 0??

$\begin{eqnarray*} = \sum_{k=1}^n~n \cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-1-k+1)!} p^{k}q^{n-k} \end{eqnarray*}$

den Rest versteh ich wohl - "einfach" nur Umformungen:
$\begin{eqnarray*} = \sum_{k=1}^n~n \cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-1-(k-1))!} p^{k}q^{n-k} = \sum_{k=1}^n~n \cdot \begin{pmatrix} n - 1 \\ k - 1 \end{pmatrix} p^{k}q^{n-k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = np[\begin{pmatrix} n-1 \\ 0 \end{pmatrix} p^{0}q^{n-1}+ \begin{pmatrix} n-1 \\ 1 \end{pmatrix} p^{1}q^{n-2}+...+\begin{pmatrix} n-1 \\ n-1 \end{pmatrix} p^{n-1}q^{0}] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = np\cdot ( p + q) ^{n-1} = np \end{eqnarray*}$

so - schonmal im Voraus vielen Dank für eure Bemühungen...

14.11.2005, 18:17

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RE: Beweis für den Erwartungswert einer Binomialverteilung

Zitat:

Original von Yggr
$\begin{eqnarray*} = \sum_{k=1}^n~k \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} p^{k}q^{n-k} \end{eqnarray*}$
bis hier kein Problem, nur wieso wird hier schon auf k = 1 gewechselt und nicht erst im nächsten Schritt (Druckfehler?!)

Nein, kein Druckfehler: Für k=0 ist der Summand gleich Null, also kann man ihn auch ganz weglassen.

Zitat:

Original von Yggr
Den Schritt verstehe ich nicht ganz:
$\begin{eqnarray*} n! = n(n-1)! \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (n - k)! = ( n - k (- 1 + 1))! \end{eqnarray*}$

Ich auch nicht, weil du dich verschrieben hast. Du meinst

$\begin{eqnarray*} (n - k)! = ( n - (k- 1 + 1))! \end{eqnarray*}$

14.11.2005, 18:37

Yggr

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stimmt - auf das k = 0 bin ich irgendwie nicht gekommen - war blockiert - dachte irgendwie dran, dass die das nur anders schreiben wollten und dann auf einmal den Start geändert haben - bildlich gibt es ja durchaus eine Wahrscheinlichkeit, dass man 0 mal Erfolg hat...
Das mit dem letzten hab ich wohl verstanden, dass -1+1 kann man dann umordnen... ...nur wieso dann dort k = 1 definiert wurde hab ich nicht mehr ganz gepeilt...
...nu is klar - besten Dank!

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