Mengen: Beweis einer Gleichung

14.11.2005, 20:36

mathen00b

Mengen: Beweis einer Gleichung

Hi,

ich hab ein Problem. Und zwar soll ibewiesen werden, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} M_1 \cup M_2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} M_1(M_2 \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} M_1) \end{eqnarray*}$

Doch ich hab schon mit der ersten Zeile der Umformung Schwierigkeiten:
$\begin{eqnarray*} => x \in M_1 \end{eqnarray*}$ v $\begin{eqnarray*} (x \in M_2 AND \notin M_1) \end{eqnarray*}$

Wie kommt man darauf?
Warum kann x Element von $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ sein, aber wenn x Element von $\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ ist, kann es nicht Element von $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ sein??

Dank im Vorraus...

14.11.2005, 22:17

IchDerRobot

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Hallo mathen00b,

du sollst die Gleichung
$\begin{eqnarray*} M_1 \cup M_2 = M_1 \cup (M_2 \setminus M_1) \end{eqnarray*}$
zeigen?

Die Zeile
$\begin{eqnarray*} x \in M_1 \lor (x \in M_2 \land x \notin M_1) \end{eqnarray*}$ (1)
besagt gerade, dass x ein Element der rechten Seite dieser Gleichung ist.

Dass das äquivalent zu
$\begin{eqnarray*} x \in M_1 \lor x \in M_2 \end{eqnarray*}$ (2)
ist, kannst du dir an einem Mengendiagramm veranschaulichen.

Für einen formal strengen Beweis musst du Rechenregeln der Logik anwenden, um zu zeigen, dass (1) äquivalent zu (2) ist.

Robot

15.11.2005, 09:23

brunsi

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kann denn mal einer bitte so einen strengen beweis formala ufschreiben? ich versteh das irgendwie auch nicht so ganz. traurig

15.11.2005, 11:54

mathen00b

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Wenn man diesen Teil 'ausmultipliziert':
$\begin{eqnarray*} x \in M_1 \lor (x \in M_2 \land x \notin M_1) \end{eqnarray*}$ (1)

müsste doch dies hier herauskommen:
$\begin{eqnarray*} (x \in M_1 \lor x \in M_2) \land (x \in M_1 \lor x \notin M_1) \end{eqnarray*}$

Aber was genau sagt diese Zeile aus?
x ist entwerder Element von $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ - und x ist Element von $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ oder nicht von $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ ??

Nur was soll das bedeuten?!

Danke

15.11.2005, 12:57

papahuhn

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Einfach eine Wahrheitstabelle aufstellen, da sieht mans am leichtesten.

15.11.2005, 17:49

IchDerRobot

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Zitat:

Original von mathen00b
x ist entwerder Element von $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ - und x ist Element von $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ oder nicht von $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ ??

Nur was soll das bedeuten?!

Das bedeutet genau das, was dasteht bis auf das "entweder" - das gehört da nicht hin. (Das "oder" ist nicht ausschließend, es kann auch beides zutreffen.)

Deine Umformung ist korrekt. Der rechte Teil ist immer erfüllt, du kannst ihn also durch "wahr" ersetzen und weiter umformen.

Oder du betrachtest eine Wahrheitstabelle. smile

Robot

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