zu V(X); Zeige das folgende Gelcihung gilt...

14.11.2005, 21:45	chay	Auf diesen Beitrag antworten »
zu V(X); Zeige das folgende Gelcihung gilt... Moin ich hätt da gern maln Problem in Zusammenhang mit "Varianz und Standardabweichung bei Bionimalverteilungen" und Herleitung von "V(X)=npq" Aufgabe (von S.145 Nr. 5 "LK Elemt. d. Mathem." von Schrödel für NDS) ist: Zeige, dass folgende Gelichung gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~k²P(X=k) = n(n-1)p^{2}(p+q)^{n-2} +np(p+q)^{n-1} \end{eqnarray*}$ sitz da jetzt schon eine Stunde dran und komme mit meinen Umformungen nicht weiter bzw. rechne im Kreis. Wäre sehr dankbar für einen funktionierenden Ansatz! (Rest würde ich mir imom noch selbst zu trauen.) Meinen Dank euch im Voraus! MfG Chay
14.11.2005, 21:57	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~k^2\cdot P(X=k)=\sum_{k=1}^n~k\cdot(k-1+1)\cdot P(X=k) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum_{k=1}^n~k\cdot(k-1)\cdot P(X=k)+\sum_{k=1}^n~k\cdot P(X=k) \end{eqnarray}$ . Jetzt einsetzen, die Binomialkoeffizienten etwas umformen und den Binomischen Satz anwenden. Gruß MSS
14.11.2005, 22:29	chay	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Ansatz So bin bis hierhin gerad gekommen: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~k\cdot(k-1)\cdot%20P(X=k)+\sum_{k=1}^n~k\cdot%20P(X=k) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =n(n-1)p²\sum_{k=1}^n~ \frac{(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!}p^{k-2}q^{n-k}+np* \sum_{k=1}^n~\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}q^{n-k} \end{eqnarray}$ Bin ich aufm richtigen Weg?
14.11.2005, 22:33	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast: Bei der ersten Summe darfst du für k=1 nicht so kürzen, wie du es getan hast, denn was soll den (-1)! darstellen??? Aber das lässt sich leicht korrigieren, indem du die Summe erst bei k=2 startest - für k=1 ist der Summand sowieso gleich Null.
14.11.2005, 22:54	chay	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} =n(n-1)p%B2\sum_{k=2}^n~%20\frac{(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!}p^{k-2}(1-p)^{n-k}+np%20\sum_{k=1}^n~\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}(1-p)^{n-k} \end{eqnarray}$ wie muss ich nun umformen um auf $\begin{eqnarray} (p+q)^{n-2} \end{eqnarray}$ und/oder $\begin{eqnarray} (p+q)^{n-1} \end{eqnarray*}$ zu kommen? Sorry, dass es doch etwas langwieriger ist!
14.11.2005, 23:29	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!}={n-2\choose k-2} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}={n-1\choose k-1} \end{eqnarray}$ . Dann binomischer Satz. Gruß MSS
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