Wie lautet hier Integrationsregel?

22.04.2008, 16:22

noob

Wie lautet hier Integrationsregel?

Hallo,
wie lautet dir Regel zum integrieren eines Bruches, welcher im Zähler und im Nenner eine Funktion hat?

Danke,
Grüsse

22.04.2008, 16:23

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt keine allgemeine Regel für das Integrieren eines Quotienten.

Falls es aber eine gebrochenrationale Funktion ist, so gibt es geläufige Methoden, mit welchen man das Integral berechnen kann.

22.04.2008, 16:33

noob

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tmo
Es gibt keine allgemeine Regel für das Integrieren eines Quotienten.

Falls es aber eine gebrochenrationale Funktion ist, so gibt es geläufige Methoden, mit welchen man das Integral berechnen kann.

ja, es ist eine gebrochen Rationale Funktion.

Ich kenne dir Integralregeln, wie ich Brüche integriere, welche im Zähler eine 1 haben, aber ich weiss eben nicht, was ich machen soll, wenn im Zähler auch eine Funktion steht.

22.04.2008, 16:35

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn der Grad des Zählers höher ist, kannst du erstmal Polynomdivision durchführen um einen echtgebrochenrationalen Integrand zu erhalten.

Danach folgt dann oft logarithmische Integration und Partialbruchzerlegung.

Poste doch am besten mal ein Beispiel, dann können wir das durchgehen.

22.04.2008, 16:38

noob

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{6-x}{x^{3}} \end{eqnarray*}$

Was soll ich da nun machen? verwirrt

22.04.2008, 16:42

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier ist es besonders einfach, da im Nenner keine Summe steht. Einfach den Bruch auseinanderziehen und dann die Summanden einzeln integrieren.

22.04.2008, 16:53

noob

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tmo
Einfach den Bruch auseinanderziehen und dann die Summanden einzeln integrieren.

was heisst das, auseinander ziehen? Soll ich mit dem Nenner erweitern? Darf ich das überhaupt? Oder soll ich den Nenner anstatt Potenz ausschreiben? verwirrt

Zitat:

Original von tmo
Hier ist es besonders einfach, da im Nenner keine Summe steht.

Da ich auch zukünftig Brüche sehen werde, was wäre denn, wenn im Nenner eine Summe stünde?

Partial Bruchzerlegung und Polynomdivison muss ich erst noch lernen.

22.04.2008, 17:04

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von fit_for_fun
Da ich auch zukünftig Brüche sehen werde, was wäre denn, wenn im Nenner eine Summe stünde?

Partial Bruchzerlegung und Polynomdivison muss ich erst noch lernen.

Wenn das mal vorkommt, dann wird es irgendein Spezialfall sein, sodass dir wieder
$\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} \end{eqnarray*}$
hilft.

Z.b.
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+4x}{(x+2)^2} = \frac{x^2+4x+4-4}{(x+2)^2} = 1 - \frac{4}{(x+2)^2} \end{eqnarray*}$

22.04.2008, 17:13

noob

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{6-x}{x^{3}} = \frac{6}{1}\ - \ \frac{x}{x^{3}} \end{eqnarray*}$

den ersten Term würde ich nun hinbekommen, aber jetzt habe ich doch trotzdem im zweiten wieder eine Funktion im Zähler verwirrt

22.04.2008, 17:28

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{6-x}{x^{3}} = \frac{6}{1}\ - \ \frac{x}{x^{3}} \end{eqnarray*}$

Naja, nicht ganz richtig. Tmo hat geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} \end{eqnarray*}$

Achte auf das "c"

Und im 2. Teil kannst du noch etwas verändern

22.04.2008, 17:34

noob

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
$\begin{eqnarray*} \frac{6-x}{x^{3}} = \frac{6}{1}\ - \ \frac{x}{x^{3}} \end{eqnarray*}$

Naja, nicht ganz richtig. Tmo hat geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} \end{eqnarray*}$

Achte auf das "c"

Und im 2. Teil kannst du noch etwas verändern

ich verstehs nicht unglücklich

Was ist falsch und was soll ich machen?

22.04.2008, 19:13

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von fit_for_fun
$\begin{eqnarray*} \frac{6-x}{x^{3}} = \frac{6}{1}\ - \ \frac{x}{x^{3}} \end{eqnarray*}$

wie kommst du auf die 1 im nenner? und das wort "kürzen" sollte dir was sagen unglücklich

22.04.2008, 19:24

noob

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tmo

Zitat:

Original von fit_for_fun
$\begin{eqnarray*} \frac{6-x}{x^{3}} = \frac{6}{1}\ - \ \frac{x}{x^{3}} \end{eqnarray*}$

wie kommst du auf die 1 im nenner? und das wort "kürzen" sollte dir was sagen unglücklich

Kürzen? Meinst du im hinteren Term dann das X im Zähler mit dem Nenner, das oben nur ne 1 steht und unten x im Quadrat?

Die eins schrieb ich, weil ich dachte, dass man das so machen darf. Darf man den Bruch nicht in solche zwei Brüche aufspalten?

22.04.2008, 19:28

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von fit_for_fun
Kürzen? Meinst du im hinteren Term dann das X im Zähler mit dem Nenner, das oben nur ne 1 steht und unten x im Quadrat?

Ja, so meine ich das

Zitat:

Original von fit_for_fun
Die eins schrieb ich, weil ich dachte, dass man das so machen darf. Darf man den Bruch nicht in solche zwei Brüche aufspalten?

Wende $\begin{eqnarray*} \frac{a-b}{c}=\frac{a}{c}-\frac{b}{c} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \frac{6-x}{x^2} \end{eqnarray*}$ an.

Es ist doch in unserm Fall:
$\begin{eqnarray*} a = 6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c=x^3 \end{eqnarray*}$

22.04.2008, 19:59

noob

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{6-x}{x^{3}} = \frac{6}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} = \frac{6}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}} \end{eqnarray*}$

Stimmt das jetzt? Damit könnte ich zumindest etwas anfangen. Ich rechne es mal durch. Also:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int \frac{6}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}} dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int \frac{6}{x^{3}} dx - \int \frac{1}{x^{2}} dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -\frac{6}{2 \cdot x^{2}} - \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Stimmt das? verwirrt

23.04.2008, 07:54

noob

Auf diesen Beitrag antworten »

war das nun richtig?

23.04.2008, 08:55

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von fit_for_fun
$\begin{eqnarray*} \frac{6-x}{x^{3}} = \frac{6}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} = \frac{6}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}} \end{eqnarray*}$

Stimmt das jetzt?

Ja. Es ist aber immer wieder erstaunlich, wie simple Bruchrechnung (Stoff der 5. oder 6. Klasse) in der Oberstufe zu Verwirrungen führt. geschockt

Zitat:

Original von fit_for_fun
$\begin{eqnarray*} = -\frac{6}{2 \cdot x^{2}} - \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Stimmt das? verwirrt

Wenn du dein Ergebnis mal ableiten würdest, dann könntest du feststellen, daß dein zweiter Summand ein falsches Vorzeichen hat. Und bitte nicht pushen. unglücklich

Neue Frage »

Antworten »

Wie lautet hier Integrationsregel?

Verwandte Themen