konvexe Menge

22.04.2008, 17:57	Maik	Auf diesen Beitrag antworten »
konvexe Menge hey ihr. Ich hab ein Problem mit einem Beweis. Seien A und B konvexe Mengen. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \alpha A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A+B=\{ x+y: x \in A, y \in B\} \end{eqnarray}$ konvexe Mengen sind. Kann ich das auch mit der Formel $\begin{eqnarray} tx+ (1-t)y \end{eqnarray}$ beweisen? Ich weiß nämlich nicht, wie es anwenden kann.
22.04.2008, 18:20	TobeStar81	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: konvexe Menge Hallo Maik, also zunächst einmal, ja, du beweist die Konvexität von $\begin{eqnarray} A+B \end{eqnarray}$ genau so wie für die Menge $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Aber vorsicht bei der Wahl der Variablen, ich schätze da verwirrst du dich selber ein wenig, deswegen mal anders aufgeschrieben... Für die konvexe Menge A gilt: $\begin{eqnarray} \forall v,w \in A, t \in [0,1]: tv + (1-t)w \in A \end{eqnarray}$ Genau so machst du es jetzt auch für $\begin{eqnarray} A+B \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \forall v,w \in A+B, t \in [0,1]: tv + (1-t)w \in A+B \end{eqnarray}$ Und jetzt setzt du für v und w ein, was du von den Elementen weißt (was ist das?) und versuchst nachzuweisen, dass für alle t das Ergebnis der Gleichung wieder in $\begin{eqnarray} A+B \end{eqnarray}$ liegt. Ich schätze es verwirrt ein wenig, dass sowohl in der Definition der Menge $\begin{eqnarray} A+B \end{eqnarray}$ , als auch in deiner Formel $\begin{eqnarray} tx + (1-t)y \end{eqnarray}$ die Variablen $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ vorkommen, aber eigentlich handelt es sich dabei nicht um dieselben Variablen... Gruß!
22.04.2008, 18:43	Maik	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: konvexe Menge Also z.B. für $\begin{eqnarray} \alpha A \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t(\alpha v)+(1-t)\alpha w= \alpha (tv+(1-t)w) \end{eqnarray}$ . Und wie geht es jetzt weiter?
22.04.2008, 19:14	TobeStar81	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: konvexe Menge Ok, ich nehme mal an, dass für gegebenes $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \alpha A := \{\alpha b : b \in A\} \end{eqnarray}$ . Du hast doch zwei Elemente aus $\begin{eqnarray} \alpha A \end{eqnarray}$ gewählt, nämlich $\begin{eqnarray} (\alpha v) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (\alpha w) \end{eqnarray}$ . Soweit so gut, jetzt musst du nur überlegen, was weißt du über $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ ? Aus welchen Mengen stammen sie? Und was bedeutet das letztendlich für $\begin{eqnarray} tv + (1-t)w \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \alpha(tv + (1-t)w) \end{eqnarray}$ ?
22.04.2008, 19:19	Maik	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: konvexe Menge $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ stammen aus $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und diese Menge ist konvex. Also stammen $\begin{eqnarray} \alpha v \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha w \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} \alpha A \end{eqnarray}$ . Somit ist diese Menge dann auch konvex. Ist das richtig?
23.04.2008, 16:56	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Der Beweis steht faktisch schon oben. Du hast nur vergessen, die letzte triviale Schlussfolgerung zu ziehen.
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