komplexe Zahlen...

15.11.2005, 09:18

Sunwater

komplexe Zahlen...

Hi...

ich habe eine Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene ( also quasi des Koordinatensystems für komplexe Zahlen ) und soll mir überlegen, welches geometrisches Objekt folgende Teilmenge bildet. Dazu seien a,b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ und b $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0.

G :={ z $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ | Im ((z-a)/b) = 0}

so jetzt hab ich für z=z' + i*z'' , a=a' + i*a'' und b=b' + i*b'' folgende Bedingung raus:

z''b'' - a''b' - z'b'' + a'b'' = 0 ( hab also quasi alles in die Formel (z-a)/b eingesetzt, den Bruch mit dem konjugierten von b erweitert und dann alles was mit i zusammenhing als Bruch geschrieben... - das oben ist der Zähler vom Imaginärteil-Bruch )

wenn ich mir jetzt ein a und ein b vorgebe und danach die Werte für z' bzw. z'' bestimme und alles in ein Koordinatensystem einzeichne, passiert aber nichts besonderes...

Vielleicht hab ich auch die Aufgabe falsch verstanden?! - ist irgendwie nicht so ganz klar...

15.11.2005, 09:44

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Seit Günther Jauch ist das ja sehr beliebt, also gebe ich mal ein paar Möglichkeiten für das geometrische Objekt G vor:

(A) ein Punkt
(B) eine Gerade
(C) ein Kreis
(D) die ganze Ebene

Deine Betrachtungen sind richtig (wenngleich für meinen Geschmack etwas kompliziert formuliert), aus denen kannst du eine Entscheidung für einen dieser 4 Fälle ableiten.

15.11.2005, 10:32

henrik

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wenn a€C dann wähle doch einfach mal a = z und guck für welche z nun die Bedingung erfüllt ist Augenzwinkern

15.11.2005, 10:40

riwe

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ich würde zunächst den 50:50-joker nehmen, dann das board befragen, und zur sicherheit arthur dent anrufen!
werner

15.11.2005, 11:03

JochenX

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Zitat:

Original von henrik
wenn a€C dann wähle doch einfach mal a = z und guck für welche z nun die Bedingung erfüllt ist Augenzwinkern

aber a ist doch FEST

Zitat:

z''b'' - a''b' - z'b'' + a'b'' = 0

wenn dus nicht siehst, dann nenn doch mal um
z''=y, z'=x
vielleicht hast du ja dann eine idee, bedenke, dass der ganze rest im prinzip nichts als verkappte zahlen sind

15.11.2005, 14:12

Sunwater

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Gut - erstmal 50:50 Joker - mal jemanden anrufen, ein bisschen recherchieren - kurz nachdenken...

Ok, sieht verdammt nach ner Geraden aus...

Ich hatte sowas ja auch schon raus, aber ich dachte, wenn ich noch a und b in mein Koordinatensystem einzeichne passiert was tolles... - aber leider gibts da keinen nennenswerten zusammenhang.

wenn jetzt G:={ z $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ C | Im((z-a)b) > 0} bzw. G:={... < 0} ist,
stellt das dann die durch die Gerade getrennte obere bzw. untere Halbebene dar?

@arthur - wie würdest du es den leichter formulieren? - dann versteh ich das Problem vielleicht auch besser? ( ist nur eine Teilaufgabe von mehreren dieser Art )

thx erstmal...

15.11.2005, 17:35

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Zitat:

Original von Sunwater
@arthur - wie würdest du es den leichter formulieren? - dann versteh ich das Problem vielleicht auch besser?

$\begin{eqnarray*} \mathrm{Im}\left( \frac{z-a}{b} \right) = 0 \end{eqnarray*}$ ist gleichbedeutend mit der Existenz einer reellen Zahl $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{z-a}{b} = t \end{eqnarray*}$ . Umgestellt ergibt sich

$\begin{eqnarray*} z = a+t\cdot b \end{eqnarray*}$ .

Wenn jetzt $\begin{eqnarray*} t\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ variiert, und die komplexen Zahlen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ als zweidimensionale Vektoren in der Gaußschen Zahlenebene aufgefasst werden, dann ist das nichts anderes als eine parametrische Geradengleichung.

EDIT: Jetzt verwechsle ich schon Real- mit Imaginärteil. Big Laugh

Korrigiert.

15.11.2005, 20:16

Sunwater

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stimmt, klingt wirklich ziemlich einfach... - danke

15.11.2005, 20:57

riwe

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war doch ein guter tip, oder?
werner

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