Äquivalenzrelation (3-elem. Menge)

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20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation (3-elem. Menge)
Hallo, folgende Frage:

Wie viele Äquivalenzrelationen gibt es auf einer Menge mit 3 Elementen?

Das bedeutet doch, dass ich alle möglichen Paare bilden den muss und dann gucken muss, inwiefern diese symmetrisch, reflexiv und transitiv sind.
ich hab da folgendes versucht:





ist das denn nicht genau eine Äquivalenzrelation?
die ist doch reflexiv (1,1) (2,2) (3,3), symmetrisch (z.B.: (1,2)und(2,1)) und transitiv, denn es sind (1,2) und (2,3) drin, aber auch (1,3)
oder habe ich da was falsch verstanden?
wenn ja, was gibt es denn noch für möglichkeiten?

mfG 20
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Äquivalenzrelation ist ja eine Menge von Paaren für die was bestimmtes gilt.

etwa ist



auf Deiner Menge eine Äquivalenzrelation . Du musst also alle möglichen Mengen von Paaren bilden. Die Untersuchst Du dann auf die Eigenschaften.
 
 
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin schon weiter. z.B. weiß ich, dass die Relation ja reflexiv sein muss, also muss sie in jedem fall diese drei Elemente enthalten.
Die Transitivität und die Symmetrie muss ich an jeder Möglichkeit einzeln zeigen?
erscheint mir irgendwie umständlich... ich stell mir grad mengen mit mehr als 3 Elementen vor...
mfG 20
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Transitivität und die Symmetrie muss ich an jeder Möglichkeit einzeln zeigen?


Wenn Du die Relation so als Menge gegeben hast wie oben ja. Aber man könnte meine Relation ja auch So schreiben

Sei und R die Relation



Das wäre dann meine Relation und ich könnt den Beweis allgemein für (a,b) führen.
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber das geht doch nur für dein konkretes Beispiel, oder?

ich habe jetzt übrigens 4 Äquivalenzrelationen:

Da und und auf jeden fall vorkommen müssen (Reflexivität)

gibt es folgende möglichkeiten:







und einmal die komplette Menge.

Ist das so richtig?

mfG 20
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Deine angegebenen Relationen sind alle Äquivalenzrelation. Obs alle sind schau ich mir andermal an. Kannst ja auch selber noch drüber nachdenken Augenzwinkern

Wenn Du mit kompletter Menge die Vereinigung der 3 anderen meinst ists richtig.
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

danke,
ja, die vereinigung meinte ich...
das ist die menge, die ich zu beginn schonmal aufgeschrieben hatte...
mfG 20
Angelina Auf diesen Beitrag antworten »

ähm.. aber in der Potenzmenge sind soch 1,1 2,2 3,3 garnicht drin!?

Da hab ich als Menge raus: P(M):={(1),(2),(3),(1,2),(1,3),(2,3),(1,2,3),(1,3,2),()}

oder versteh ich da was falsch?

Oder ist das garnicht die Potenzmenge sondern tatsächlich alle Paarungen, also:

{ (1)(2)(3)(12)(21)(13)(31)(23)(32)(11)(22)(33)(123)(132)(231)(213)(111)(112)
(113)(221)(222)(223)(...)()()()()()()()()()()()()()()()()}

Ich komme grad nicht mit, welche Paarungen gemeint sind.
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

hier geht es um das kartesische produkt von der Menge mit sich selbst.
Nicht um die Potenzmenge.
mfG 20
Angelina Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.

Also ist bei der Menge A:={1,2,3} das karthesische Produkt AxA := {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}

Wenn ich die Vorraussetzungen für eine Äquivalenzrelation überprüfen will, suche ich mir einfach die Paare raus (korrekt?)

Reflexiv:= {(1,1),(2,2),(3,3)
Symmetrisch:= {(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)
Transitiv:={(1,2),(2,3)},{(1,3),(3,2)}

Somit ist die Relation auf A eine Äquivalenzrelation.?

Wie schreibe ich das Fazit mathematisch korrekt?

(Vielen Dank schonmal!!!)
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

was meinst du mit DIE relation auf A?
diese eine? es gibt ja mehrere...
dann stimmts, aufschreiben kannste einfach: ist Äquivalenzrelation, da R, S, und T.

mfG 20
Angelina Auf diesen Beitrag antworten »

Ich beschäftige mich heute zum ersten Mal genau mit dem Thema Äquivalenzrelation.

ist die mathematisch korrekte Antwort:

Jede in A mögliche Relation ist eine Äquivalenzrelation?
Oder wie vorher erwähnt: Die binäre Relation AxA:={a|aa} ist eine Äquivalenzrelation entsprechend den Vorraussetzungen: Reflexivität, Symmetrie und Transitivität.?


Es ist wichtig, dass ich das mathematisch korrekt formuliere.
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Angelina
Jede in A mögliche Relation ist eine Äquivalenzrelation?

nein, das ist selbstverständlich falsch, da eine Relation nur eine Teilmenge des Kartesischen Produktes ist.
(1|2) ist auch eine Relation. aber keine äquival.rel.

Zitat:

Oder wie vorher erwähnt: Die binäre Relation AxA:={a|aa} ist eine Äquivalenzrelation entsprechend den Vorraussetzungen: Reflexivität, Symmetrie und Transitivität.?

du meinst doch , oder?
was meinst du mit binäre Relation?

mfG 20
Angelina Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 20_Cent
Zitat:

du meinst doch , oder?

Ja. aA.

Zitat:

was meinst du mit binäre Relation?

Binär weil AxA bi=zwei.

mfG 20


Es wäre eventuell hilfreich, wenn du mir sagen könntest wie ich das Ergebnis korrekt aufschreiben müsste. Selber gefunden habe ich es ja. Ich weiß jetzt nur nichts damit anzufangen. Also wenn mir der Mathelehrer Die Menge A:={1,2,3} gibt und fragt was ich ihm dazu in Hinblick auf Äquivalenzrelationen/Klassen sagen kann.
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

was hast du selber gefunden?
es gibt mehr als diese eine Äquivalenzrelation!

dann sagst du ihm, wieviele und welche äquivalenzrelationen es auf dieser menge gibt...
mfG 20
Angelina Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 20_Cent
es gibt mehr als diese eine Äquivalenzrelation!


Das versteh ich nicht. Ich habe doch die Relation der Menge auf sich selbst. Dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist habe ich doch dadurch bewiesen, dass ich reflexive, symmetrische und transitive Paare gefunden habe. Oder?
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

lies mal den anfang dieses threads, da stehen noch andere äquivalenzrelationen... ich glaube, du weiß gar nicht, was eine relation ist:

Eine Relation ist eine Teilmenge vom kartesischen Produkt.

xRy (x steht in Relation zu y) <=> (x,y) in der Relation liegt.

(1,2) ist also auch eine Relation auf {1,2,3,4}
ebenso (1,1); (1,4).

mfG 20
Angelina Auf diesen Beitrag antworten »

Achso.. also muss ich nur zB jeweil 1 Paar aus der menge der reflexiven, symmetrischen und transitiven Paarmengen nehmen und zu einer menge zusammen fügen und habe dann wine Äquivalenzrelation.

Danke.
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

nein, das ist falsch.
überleg nochmal.
mfG 20
Angelina Auf diesen Beitrag antworten »

Vorweg erstmal danke, dass du doch so geduldig bist.

Also ich hatte ja vorhin aus dem Karthesischem Produkt von A:={1,2,3} folgendes ersehen:

Reflexiv:= {(1,1),(2,2),(3,3)
Symmetrisch:= {(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)
Transitiv:={(1,2),(2,3)},{(1,3),(3,2)}

So. Wenn ich nun eine Relation finden will, die auch eine Äquivalenzrelation ist, dann muss ich ja eine finden, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Gedacht hatte ich mir dabei zB folgende Teilmenge:

{(1,1),(1,2),(2,1),(2,3)} Auf dieser Teilmenge lässt sich Reflexivität, Symmetrie und Transitivität nachweisen. Daher ist es eine Äquivalenzrelation.

Eine Relation ist eine Teilmenge des karthesischen Produktes. Und eine Relation drückt Bezihungen zwischen Elementen (meist)zweier Mengen (binäre Relation) oder einer Menge in sich aus. Abbildungen sind sprezielle Relationen, aber das gehört hier nicht hin.

Reflexiv:= ich bin ich
Symmetrisch:= ich bin deine Schwester- du bist meine Schwester
Transitiv:= ich bin deine Schwester und du bist die Schwester von xy, also ist xy auch meine Schwester.

Wo liegt nun der Fehler? Ich komme einfach nicht drauf, wo mein Denkfehler liegt, wenn du sagst, dass das falsch ist, reicht das nicht. Kannst du nicht eventuell etwas genauer sagen wo ich suchen muss?
Oder auch jemand anders.

Danke!
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

der fehler liegt darin, dass du in deiner Relation zwar z.B. (2,1) hast, aber nicht (2,2), 2 steht also nicht in relation zu 2, also ist die relation nicht reflexiv.
mfG 20
Angelina Auf diesen Beitrag antworten »

Also kommen noch (2,2) und (3,3) in die menge und dann ist es korrekt.!?
Angelina Auf diesen Beitrag antworten »

Alles Quatsch.

Ich brauche auf jeden fall alle Paare des karthesischen Produktes, um die Äquivalenzrelation 100% durch ausprobieren nachzuweisen
Die Teilmenge bilden wie ichs vorher gemacht habe, geht garnicht.
Also ist nur das gesamte karthesische produkt auch eine Aquivalenzrelation. Alles andere sind 'nur' Relationen.

So. Ende für heute.
Silencer Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ich würd das mit nem "Graphen" angehen:

Wir gehen aus von einer leeren Menge, die die erste Äquivalenzrelation ist.

Dann können wir erst ein Element hinzufügen, das wir durch unsere Relation nerven wollen.
Hier müssen wir noch nichts weiter hinzufügen, da so im ersten Schritt die Mengen
entstehen, was bis jetzt 4 Möglichkeiten ergibt.

Nun können wir in jede dieser Relationen so erweitern, dass sie eines der noch fehlenden Elemente berührt, dabei müssen wir jedoch aufpassen, dass das ganze eine Äquivalenzrelation bleibt.
Die Relation,die 1 und 2 "berührt" ist
Die Relation, die 1 und 3 "berührt" ist

und so weiter, d.h. zu diesen drei Ausgangspunkten kommen je 2 weitere Knoten hinzu, sodass das 6 Möglichkeiten sind, insgesamt bisher also 10 Möglichkeiten.

Zuletzt kann man nun zu jeder dieser Äquivalenzrelationen noch das dritte Element hinzufügen, was jedoch bei allen die gleiche Relation ergibt, nämlich die Relation, die 1, 2 und 3 berührt.

Insgesamt würde ich so also auf 11 mögliche Relationen kommen

PS: wenn man sich das aufmalt, sieht das viel netter aus Augenzwinkern
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Silencer
Hm, ich würd das mit nem "Graphen" angehen:

Wir gehen aus von einer leeren Menge, die die erste Äquivalenzrelation ist.

Dann können wir erst ein Element hinzufügen, das wir durch unsere Relation nerven wollen.
Hier müssen wir noch nichts weiter hinzufügen, da so im ersten Schritt die Mengen
entstehen, was bis jetzt 4 Möglichkeiten ergibt.

das ist falsch, jede Äquivalenzrelation muss diese 3 elemente enthalten, das ist die kleinste, also sind wir bei einer möglichkeit.

Zitat:

Nun können wir in jede dieser Relationen so erweitern, dass sie eines der noch fehlenden Elemente berührt, dabei müssen wir jedoch aufpassen, dass das ganze eine Äquivalenzrelation bleibt.
Die Relation,die 1 und 2 "berührt" ist
Die Relation, die 1 und 3 "berührt" ist

sind keine Äquivalenzrelationen, da jedes element der Menge mit sich selbst in Relation stehen muss, 3 steht beim ersten nicht mit sich selbst in relation, 2 beim zweiten...

ich habe auf der ersten Seite dieses Threads alle möglichen äquivalenzrelationen aufgeschrieben.

mfG 20

PS: jedenfalls nach unserer definition, weiß ja nicht, ob die so üblich ist Augenzwinkern

edit:
ich hab nochmal unsere def. von reflexiv nachgeguckt:
Eine Relation R auf der Menge M heißt reflexiv, falls
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »

Also gibt jetzt 5 verschieden richtig?
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin der meinung 4... (siehe letzte seite...)
welche meinst du?

mfG 20
Ace Piet Auf diesen Beitrag antworten »

> Wie viele Äquivalenzrelationen gibt es auf einer
> Menge mit 3 Elementen?

Die verschiedenen Äqui-Klassen (einer ÄR) liefern eine paarweise disjunkte Zerlegung der zugrundeliegenden Menge M und umgekehrt.

Ergo habe ich die möglichen Zerlegungen von M abzuzählen.

{1},{2},{3} : das ist die einzige Zerlegung mit je 1 Elem.

{1},{2;3} : Zerlegung mit 2 Ä-Klassen(!)
{2},{-na-} : noch eine
{3},{-na-} : und die letzte 2-eltige

{1,2,3}

Sind also 5 (leere Menge zerlegt nix).

____________

Beweis + Anschaulichkeit: ... Die Äquivalenz-Klassen sind genau die zerlegenden Mengen von M. Jede Zeile oben definiert also eine ÄR.

Eine ÄR ist eine Verallgemeinerung von "=" bzgl. ,einer Eigenschaft'. Die Ä-Klassen bzw. zerlegenden Mengen sind nun die als gleich betrachteten Elemente.

Sicherlich ist eine ÄR eine bzgl. R+S+T abgeschlossene, zweistellige Abb. zwischen MxM. - War aber nicht gefragt... ;-)
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

oh, klar, hab eine vergessen...

alle paare, nur die (x,x) paare und die 3, die auf der ersten seite stehen...
zählen müsste man können Augenzwinkern

mfg 20
Proposition Auf diesen Beitrag antworten »

Mit folgender Formel kannst du die Menge der Äquivalenzklassen einer beliebig großen Menge Bestimmen!

Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Hinweis: Der Thread ist schon 7 Jahre alt...
Proposition Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss mich korrigieren, ich meinte, dass du mit obiger Formel bestimmen kannst, wieviele Äquivalenzrelationen es für eine beliebige Menge M gibt. Diese zahl ist gleich mit der Kardinalität irgendeiner Menge X, welche alle möglichen disjunkten Partitionierungen der Menge M beinhaltet.

Es ist doch egal wie alt der Beitrag ist, wenn man nach der Frage googelt landet man schnell hier. Von daher ist es doch hilfreich eine gute Lösung präsentiert zu bekommen ;-)
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