Beweis der Jensenschen Ungleichung [war: Optimierung: Beweis durch vollständige Induktion]

22.04.2008, 18:39

Tunner

Beweis der Jensenschen Ungleichung [war: Optimierung: Beweis durch vollständige Induktion]

Ich hab ein Beweisproblem. erstmal die Aufgabe:
Sei f eine konvexe Funktion. Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für beliebige $\begin{eqnarray*} \lambda_i\geq 0 (i=1,...n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~\lambda_i =1 \end{eqnarray*}$ die Beziehung $\begin{eqnarray*} f(\sum_{i=1}^n~ \lambda _ix_i)\leq \sum_{i=1}^n~\lambda _if(x_i) \end{eqnarray*}$ gilt.

Mein Ansatz
für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^1~\lambda _i=1 \Rightarrow \lambda _1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(\sum_{i=1}^1~ \lambda _ix_i)=f(\lambda _1x_1)=f(x_1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^1~ \lambda _if(x_i)=\lambda _1f(x_1)=f(x_1) \end{eqnarray*}$

für n->n+1
$\begin{eqnarray*} f(\sum_{i=1}^{n+1}~ \lambda _ix_i=f(\sum_{i=1}^n~ \lambda _ix_i+\lambda_{n+1}x_{n+1}) \leq f(\sum_{i=1}^n~\lambda _ix_i)+f(\lambda _{n+1}x_{n+1})\leq \sum_{i=1}^n~ \lambda _if(x_i)+f(\lambda _{n+1}x_{n+1}) \leq \sum_{i=1}^n~ \lambda _if(x_i)+\lambda _{n+1}f(x_{n+1}) =\sum_{i=1}^{n+1}~\lambda_if(x_i) \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

22.04.2008, 21:18

therisen

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RE: Optimierung: Beweis durch vollständige Induktion

Zitat:

Original von Tunner
$\begin{eqnarray*} f(\sum_{i=1}^n~ \lambda _ix_i+\lambda_{n+1}x_{n+1}) \leq f(\sum_{i=1}^n~\lambda _ix_i)+f(\lambda _{n+1}x_{n+1}) \end{eqnarray*}$

Begründung? Ich würde eher so vorgehen: Definiere $\begin{eqnarray*} \lambda:=\sum_{i=1}^n\lambda_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x:=\sum_{i=1}^n\frac{\lambda_i}\lambda x_i \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i x_i = \lambda x+\lambda_{n+1}x_{n+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda+\lambda_{n+1}=1 \end{eqnarray*}$ . Jetzt kannst du den Fall $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ anwenden (dies ist gerade die Bedingung, dass f konvex ist).

23.04.2008, 07:46

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Jensensche Ungleichung
Mag ja sein, dass das im Rahmen einer Optimierungsvorlesung behandelt wurde - trotzdem ist die Threadüberschrift nicht sehr passend.

Besser wäre: Beweis der Jensenschen Ungleichung

Falls mal einer im Board danach sucht... smile

Edit (Dual Space): *Titel geändert*

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