alternierende Gruppe

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Ananee Auf diesen Beitrag antworten »
alternierende Gruppe
Hallo,

ich soll für zeigen, dass die symmetrische Gruppe Sn die doppelte Mächtigkeit der alternierenden Gruppe An besitzt.

Irgendwie komm ich da nicht weiter:

Die Mächtigkeit von Sn ist ja n!
Und die Elemente der alternierende Gruppe sind alle geraden Permutationen.
Stimmt es dann, dass die Permutationen von Sn, deren Zyklenlänge ungerade sind, dann gerade sind?

Und wenn, hilft mir das hier überhaupt weiter?

Bin für jede Hilfe dankbar
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ananee
Stimmt es dann, dass die Permutationen von Sn, deren Zyklenlänge ungerade sind, dann gerade sind?

Hmm, du sprichst wohl von Permutationen, die nur einen Zyklus beinhalten, also nicht das Produkt mehrerer Zyklen sind? In diesem eingeschränkten Fall von nur einem Zyklus ist deine Aussage allerdings richtig.
Ananee Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, das meinte ich...

Allerdings hilft mir das bei der Aufgabe nicht, oder?

Hab jetzt mal versucht zu beweisen, dass die Menge der geraden Permutationen gleich der Menge der ungeraden Permutationen ist.

Aber wie lässt sich das für jede Sn beweisen?

Oder muss man da mit nem ganz anderen Ansatz rangehen?
IchDerRobot Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Ananee,

der "übliche" Beweis benutzt einiges an Gruppentheorie.

Man zeigt, dass die Signum-Abbildung
s(p) = +1, falls p gerade
s(p) = -1, falls p ungerade
ein Homomorphismus von der Sn nach ({+1, -1}, *) ist, dessen Kern die An ist. Da es ungerade Permutationen in der Sn gibt (für n >= 2), ist der Kern nicht die ganze Sn, sondern hat Index 2.

Robot
Ananee Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, danke!

Ich glaube, langsam hab ichs verstanden smile

Ananee
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