Didaktik (Grenzwert)

15.11.2005, 14:42

Luna6

Didaktik (Grenzwert)

Halli Hallo!!!
Wir haben die folgende Aufgabe bekommen:

Aufgrund einer Krankheit verordnet eine Ärztin ein Medikament mit einem Wirkstoff, von dem in jeder Tablette 10mg enthalten sind. Die Einnahme soll einmal täglich am Morgen erfolgen; die Nieren wachsen 55% des jeweils vorhandenen Wirkstoffes pro Tag.

Den fett gedruckten Teil verstehe ich nicht, also ich kann der sparchlichen Formulierung nicht folgen.
Kann da jemand helfen?

a) Zwei gegenläufige Prozesse sind im Spiel:
Einerseits wird durch die erneute Einnahme die Wirkstoffmenge um 10mg erhöht, andererseits durch die Funktion der Nieren auf 45% reduziert. Welcher Prozess gewinnt?
Bestimmen sie den Medikamentenpegel an den ersten 5Tagen und finden sie eine rekrusive Formel zur Beschreibung des Stands am (n+1)ten Tag.

b) Konvergiert die Folge? Bestimmen Sie ggf. den Grenzwert. Erklären Sie die Bedeutung des Grenzwertes für den Sachzusammenhang.

c) Ein anderer Arzt gibt dem nächsten Patienten den Rat, am ersten Tag zwei Tabletten einzunehmen. Untersuchen Sie die Auswirkungen einer Variation des Anfangswertes. Welches wäre die ideale erste Dosierung?

Ich glaube, dass die Aufgabe gar nicht so schwer ist, aber irgendwie kann ich die Anfangsdaten nicht herausziehen bzw. weiß ich ja wie bereits gesagt gar nicht wie das überhaupt mit den Nieren etc. gemeint ist.

Vielleicht hat ja jemand Lust mir auf die Sprünge zu helfen, damit ich die Aufgaben dann entsprechend bearbeiten kann.
DANKE

15.11.2005, 15:38

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"wachsen" klingt in der Tat sehr unsinnig, vielleicht soll das eher "waschen" heißen, im Sinne von "aus dem Blut herauswaschen".

15.11.2005, 19:07

Luna6

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O.k. so ist das natürlich viel verständlicher.

Das heißt es bleiben von den 10mg die man am Tag einnimmt, nur 45% davon wirklich im Körper, also 4,5mg am Tag bleiben erhalten.
Bei a ist ja nun die Frage, welcher Prozess gewinnt.
Ich seh den Sinn aber noch nicht.
Wenn ich jeden Tag 10mg eines Stoffes zu mir nehme und davon wegen den Nieren nur 4,5mg wirklich im Körper bleiben, werden diese doch auch entsprechend vom Körper verwertet. Deshalb wäre der Pegel am 2Tag meiner Meinung nach auch wieder 4,5mg.
Also vielleicht häng ich mich zu sehr an derAufgabenstellung auf, aber logisch finde ich das nicht.

Oder ist es so gemeint, dass ich am ersten Tag 4,5mg im Körper behalte und wenn ich am nächsten Tag nochmal 10mg dazunehme, muss ich dann von 14,5mg wieder 55% abziehen und so weiter?

Großes Sorry, aber bitte helft mir nochmal weiter.
Ich weiß, dass das nicht so schwer ist, aber ich seh die Mathematik in dieser Aufgabenstellung einach noch nicht.

15.11.2005, 19:30

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Luna6
Oder ist es so gemeint, dass ich am ersten Tag 4,5mg im Körper behalte und wenn ich am nächsten Tag nochmal 10mg dazunehme, muss ich dann von 14,5mg wieder 55% abziehen und so weiter?

Ja. Diese zwei Wörter machen den Unterschied:

Zitat:

die Nieren waschen 55% des jeweils vorhandenen Wirkstoffes pro Tag.

15.11.2005, 20:52

Luna6

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Halli Hallo!
Also irgendwie werd ich nicht schlau aus der Sache, auch wenn ich nun schon einen positiven Hinweis bekommen habe.

Ich frage mich ob ich nun wirklich am ersten Tag 4,5mg im Körper habe, am zweiten Tag dann 14,5mg und davon dann halt 45%, also 6,252mg und da dann wieder 10mg drauf etc.

ODER

ob ich eine Folge habe, bei der jeden Tag einfach 4,5mg dazu kommen, denn dies finde ich so vom Sachverhalt irgendwie logischer.

Aber egal was nun von beiden richtig ist, es "gewinnt" doch definitiv die Medikamentenaufnahme, was hätte es sonst für einen Sinn, oder?

15.11.2005, 22:04

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Luna6
Ich frage mich ob ich nun wirklich am ersten Tag 4,5mg im Körper habe, am zweiten Tag dann 14,5mg und davon dann halt 45%, also 6,252mg und da dann wieder 10mg drauf etc.

So ist es.

Zitat:

Original von Luna6
ob ich eine Folge habe, bei der jeden Tag einfach 4,5mg dazu kommen, denn dies finde ich so vom Sachverhalt irgendwie logischer.

Dann wäre die Aufgabe aber sehr langweilig.

Zitat:

Original von Luna6
Aber egal was nun von beiden richtig ist, es "gewinnt" doch definitiv die Medikamentenaufnahme, was hätte es sonst für einen Sinn, oder?

Das kommt darauf an, wie man "gewinnen" definiert. Wenn es heißen soll, dass die Wirkstoffmenge zu einer bestimmten Uhrzeit des Tages (wenn das Medikament immer um die gleiche Uhrzeit eingenommen wird) streng monoton wächst, dann ja, das Medikament "gewinnt" immer. Man kann aber dennoch sinnlos Medikamente nehmen...

Du scheinst nicht besonders in das Thema der Aufgabe eingearbeitet zu sein... (Was beschränktes Wachstum ist, weißt du?) Probiere einfach einmal den Rest von Teilaufgabe a) zu lösen:

Zitat:

Bestimmen sie den Medikamentenpegel an den ersten 5Tagen und finden sie eine rekrusive Formel zur Beschreibung des Stands am (n+1)ten Tag.

16.11.2005, 15:37

Luna6

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Hallo nochmal!!!
Also ich hab nun für die ersten 4Tage die Werte:

1. 4,5 mg
2. 6,525 mg
3. 7,163 mg
4. 7,723 mg

berechnet.
Meine rekursive Formel dafür lautet:
$\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ +1= $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ + 10 - ( $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n}+10}{100} \end{eqnarray*}$ x 55)

Ich frage mich ob man sonst auch folgendes schreiben könnte:
$\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ +1= ( $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ + 10 ) x $\begin{eqnarray*} \frac{45}{100} \end{eqnarray*}$

Da die Werte immer weiter ansteigen gewinnt im übrigen die Einnahme der Medikamente und nicht das Waschen der Niere.
Damit wäre ich ja für den ersten Teil fertig *hoff*.

Bei b weiß ich aber nun schon wieder nicht weiter.
Ich denke, dass die Folge konvergiert, nur weiß ich nicht wie man das zeigt bzw. den Grenzwert berechnet.
Mit dem Limes?
Kann bitte jemand helfen?

16.11.2005, 18:21

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Luna6
Meine rekursive Formel dafür lautet:
$\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ +1= $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ + 10 - ( $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n}+10}{100} \end{eqnarray*}$ x 55)

Ich frage mich ob man sonst auch folgendes schreiben könnte:
$\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ +1= ( $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ + 10 ) x $\begin{eqnarray*} \frac{45}{100} \end{eqnarray*}$

Ja, das ist beiden dasselbe. (Du musst die erste Darstellung nur zusammenfassen, um die zweite zu erhalten.)

Zitat:

Original von Luna6
Ich denke, dass die Folge konvergiert, nur weiß ich nicht wie man das zeigt bzw. den Grenzwert berechnet.

Ich wiederhole meine Frage: Weißt du, was beschränktes Wachstum ist?

16.11.2005, 19:36

Luna6

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Danke schon mal.
Also ich könnt dir natürlich hier eine Definition hinschreiben, nur von Verstehen kann leider keine Rede sein.
Bzw. bin ich mir nicht sicher ob wir von der gleichen Sache sprechen, wir haben zu Folgen monoton fallend oder wachsend definiert und mit Grenzwerten hantiert.
Kannst du vielleicht nochmal weiterhelfen?

16.11.2005, 19:46

sqrt(2)

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Beschränktes Wachstum ist ein Wachstumsvorgang einer Größe $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ über die Zeit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , der die Diffentialgleichung

$\begin{eqnarray*} f'(t)=k(G-f(t)) \end{eqnarray*}$

mit einem Wachstumsfaktor $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und einem Grenzwert $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ erfüllt. Da es sich hier um keinen funktionalen Zusammenhang, sondern um eine Folge handelt, kann man

$\begin{eqnarray*} f'(t)&:=&a_{n+1}-a_n\\f(t)&:=&a_n \end{eqnarray*}$

setzen. Versuch mal deine zweite Folgendarstellung so umzuformen, dass sie obige Gleichung erfüllt, dann hast du direkt den Grenzwert.

18.11.2005, 15:25

Luna6

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Hallo nochmal!!!
Also, da hab ich mich über deine tolle Hilfe gefreut und nun hat mir mein Tutor gesagt, dass wir das nicht benutzen dürfen, da wir das nicht in der Vorlesung hatten. Nun hab ich mich dran gemacht und wollt halt, den Grenzwert mit dem Limes berechnen, den hatten wir ja schließlich, nur ohne Erfolg.
Hat vielleicht noch jemand nen Tipp wie man den Grenzwert sonst rausbekommen kann???
Die Folge konvergiert auf jeden Fall und hat somit ja bestimmt einen Grenzwert, wir haben erst auf 10 getippt, nur nach einigen weiteren Versuchen sind wir bei 8,18 angekommen.
Wenn jemand noch nen Tipp für die Aufgabe hat, würden wir uns riesig freuen. Tanzen

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