Potenzgesetze

15.11.2005, 14:55

Luna6

Potenzgesetze

Halli Hallo!!!

Ich soll folgende Aufgabe lösen:

Es seien a, b $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und r $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Q sowie a, b > 0, r $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie:

a: $\begin{eqnarray*} (ab)^{1/n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} a^{1/n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b^{1/n} \end{eqnarray*}$

b: $\begin{eqnarray*} (ab)^r \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} a^r \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b^r \end{eqnarray*}$

Die bekannten Regeln für das Rechnen mit natürlichen Exponenten dürfen als gültig vorausgesetzt werden.

So, schwer sieht es nicht aus und was da steht ist eigentlich auch ganz logisch, nur weiß ich mal wieder nicht wi ich anfangen soll.
Vorallem versteh ich den Unterschied von a und b nicht, irgendwie scheint mir das der gleiche Beweis zu werden.

Ich weiß, dass
bei einem Produkt aus zwei Potenzen mit dem gleichen Exponenten kann man zuerst die Basen (a und b) mit einander multiplizieren und diese hoch dem gemeinsamen Exponenten (u) nehmen.

au · bu = (a · b)u (u=Potenz)

Aber wie soll ich das denn Beweisen, es ist doch schon ein festes Gesetz?
Bin über jede Hilfe Dankbar.

edit: Latex-Codes verbessert, bitte Exponenten in geschweifte Klammern schreiben!!! (MSS)

15.11.2005, 17:21

JochenX

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RE: Potenzgesetzte

Zitat:

Original von Luna6
Es seien a, b $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und r $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Q sowie a, b > 0, r $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ .

ALS WAS?

Zitat:

a: $\begin{eqnarray*} (ab)^1/n \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} a^1/n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b^1/n \end{eqnarray*}$

bitte was soll das heißen? soll das wirklich "hoch 1" sein, dass kannst du ja einfach weglassen
soll rechts ein mal dazwischen stehen?
die aussage ist ja einfach falsch......

Zitat:

b: $\begin{eqnarray*} (ab)^r \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} a^r \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b^r \end{eqnarray*}$

stichwort: kommutativität der multiplikation, pünktchenbeweis ganz einfach oder induktion mit formalismus

Zitat:

Die bekannten Regeln für das Rechnen mit natürlichen Exponenten dürfen als gültig vorausgesetzt werden.

die da wären?
was dürft ihr alles voraussetzen?

15.11.2005, 18:59

Luna6

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RE: Potenzgesetzte
Was meinst du mit Als was?
Das ist die gegebene Grundannahme für diese Aufgabe, mehr steht da auch nicht, falls du meinst, dass da was fehlt.

Nein, das soll jeweils, hoch 1 durch n heißen.
Sorry, wusste nicht wie man das sonst schreiben könnte.

Und was meinst du mit die Aussage ist einfach falsch?
Für mich sind beide Aussagen richtig, nur weiß ich grad noch nicht ie ich anfangen soll dies zu beweisen, somit ist das noch nicht ganz einfach für mich.

15.11.2005, 22:38

JochenX

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RE: Potenzgesetzte

Zitat:

Original von Luna6
Was meinst du mit Als was?

Zitat:

r $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$

da fehlt doch eine angabe, r größergleich..... äääh?

Zitat:

Nein, das soll jeweils, hoch 1 durch n heißen.
[...]
Und was meinst du mit die Aussage ist einfach falsch?

na in der obigen aussage war sie natürlich falsch, so stimmt die aussage

das bleibt natürlich:

Zitat:

Die bekannten Regeln für das Rechnen mit natürlichen Exponenten dürfen als gültig vorausgesetzt werden.

die da wären?
was dürft ihr alles voraussetzen?

16.11.2005, 15:52

Gast510

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RE: Potenzgesetzte
Hy!!!

Man könnte b doch unter Voraussetzung folgender Rechenregel:
Für alle reellen Zahlen x $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0, y $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 gilt: $\begin{eqnarray*} xy^{-1}= x^{-1}y^{-1} \end{eqnarray*}$

relativ einfach so beweisen:

$\begin{eqnarray*} (a^{-1})^r (b^{-1})^r = (a^{-1} b^{-1})^r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a^r b^r = (a^{-1} b^{-1})^r= ( (ab)^{-1})^r= (ab)^{-r}= (ab)^r \end{eqnarray*}$

Natürlich nur wenn man die Voraussetzung kennt, aber sonst müsst das doch funktionieren.

16.11.2005, 16:20

gast738

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mein vorschlag zu a saehe so aus:

$\begin{eqnarray*} (a*b)^{1/n} = \sqrt[n]{a*b} = \sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b} = a^{1/n} * b^{1/n} \end{eqnarray*}$ q.e.d

16.11.2005, 16:31

Luna6

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@gast738
Ich bin mir nicht sicher ob man von diesem "Wisssen" ausgeheden darf.
Wir haben zwar die Potenzgesetze, n-te Wurzel etc. besprochen, nur für 4Punkte erscheint mir dieser Beweis etwas zu einfach, aber vielleicht denk ich auch wieder zu kompliziert.
b hab ich aber auch noch nicht so wirklich verstanden...

16.11.2005, 21:13

Mathespezialschüler

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@Luna
Hast du denn jetzt wenigstens irgendeine Idee? Denk doch mal daran, wie die n-te Wurzel definiert ist ... .

Gruß MSS

18.11.2005, 15:16

Luna6

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Hallo nochmal!!!
Also b habe ich nun endlich hinbekommen, indem ich das r durch $\begin{eqnarray*} \frac{m}{n} \end{eqnarray*}$ ersetzt habe und entsprechend umgeformt habe.
Bei a bin ich aber leider immer noch nicht schlauer und bin somit dringend auf eure Hilfe angewiesen.
Der Beweis der hier bereits drin steht ist für uns nicht gültig, da wir nur die drei Potenzgesetze für Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ in der Vorlesung durchgenommen haben.
Wir wissen zwar, dass $\begin{eqnarray*} x^{1/n}:= \sqrt[n]{x} \end{eqnarray*}$ ist nur damit bin ich schon wieder bei dem bereits hier beschriebenen Beweis.
Mir wurde als Tipp gesagt, dass ich mir andere Variablen für die Terme benutzen soll, nur auch damit komm ich nicht weiter.
Würd mich freuen, wenn mich endlich jemand auf den richtigen Weg bringt.
DANKE

18.11.2005, 21:11

Mathespezialschüler

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Wenn du b) bereits bewiesen hast, folgt a) daraus direkt als Spezialfall! Setze einfach $\begin{eqnarray*} m=1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

19.11.2005, 08:41

Luna6

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Danke für den Hinweis, aber dafür bekommen wir nicht die volle Punkzahl. Frag mich nicht warum, ich verstehs auch nicht, schließlich ist der Beweis wasserdicht.
Ich soll so tun als hät ich b noch nicht, soll wohl irgendwie anders funktionieren.
Tipp?

19.11.2005, 12:57

Mathespezialschüler

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Dann mach es einfach genauso wie du b) auch bewiesen hast, nur dass du überall $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ durch eine $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ersetzt und den Beweis nochmal abschreibst.

Gruß MSS

20.11.2005, 23:56

Sheli

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Hallo, ich hab b) auch bewiesen, aber anders. Warum setzt man hier $\begin{eqnarray*} r= \frac{m}{n} \end{eqnarray*}$ und wie formt man entsprechend um? Wäre nett wenn mir das noch jemand erklären würde. Da komm ich nämlich nicht wirklich mit.

21.11.2005, 01:47

JochenX

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RE: Potenzgesetzte

Zitat:

Original von LOED

Zitat:

Original von Luna6
Was meinst du mit Als was?

Zitat:

r $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$

da fehlt doch eine angabe, r größergleich..... äääh?

hat sich eigentlich schon irgendwer um meine anfragen gekümmert!?

das ich hiermit völlig ignoriert werde, wurmt mich irgendwie doch ein bisschen

dass meine andere frage auch nicht beachtet wurde, finde ich auch nicht gerade toll

ach ist mir auch egal unglücklich

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