Nicht endlich erzeugter Vektorraum

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Gravi Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht endlich erzeugter Vektorraum
Hi,

ich komme mit der vollgenden Aufgabe nicht zurecht:

Sei K ein Korper, und sei I eine unendliche Menge. Zeige: Der K-Vektorraum
K^(I) ist nicht endlich erzeugt.

Ich weiß nicht wie ich da vorgehen soll, bis jetzt haben wir uns ausschließlich mit endlich erzeugten Vektorräumen beschäftigt.

Christian
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und was soll K(I) bedeuten?
Bitte vollständige Angaben.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst, ihr habt euch bis jetzt nur mit endlich erzeugten Vektorräumen beschäftigt, richtig? Augenzwinkern
Wie ist denn K(I) definiert? verwirrt

Gruß MSS
Gravi Auf diesen Beitrag antworten »

Öh ja sorry habe meinen ersten Beitrag nochmal editiert.
Ich meinte natürlich

Mehr ist bei der Aufgabe nicht gegeben.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zeige, daß die Elemente mit 1 in der Koordinate und Nullen sonst linear unabhängig sind.
Gravi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
du meinst doch die kanonische Basis?! Naja eine Basis ist ja immer per Definition linear unabhängig!

Ein nicht endlich erzeugter Vektorraum hat ja die Dimension unendlich . Woraus folgt, dass die Anzahl der Basisvektoren auch eine undendliche lineare unabhängig Menge sein muss.

Stimmt die Idee soweit?
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

In deinen beiden verschiedenen Argumentationen benutzt du jeweils die Behauptung schon, also sind sie falsch!
1. Woher weißt du, dass das eine Basis ist? Sie ist es nämlich nicht immer (ich glaube sogar, sie ist nie eine Basis).
2. Du sollst doch grad beweisen, dass der VR nicht endlich erzeugt ist, warum benutzt du das dann schon?

Gruß MSS
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gravi
Ich meinte natürlich

darf ich trotzdem noch mal (für uns ganz langsamen) fragen, was das bedeuten soll?
sind das alle abbildungen von I nach K, oder ..... ?

verwirrt
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@LOED
Ja, ich denke schon.

Gruß MSS
Gravi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt ich wollte warum auch immer rückwärts gehen. MSS was meinst du ist wahrscheinlich nie eine Basis?

@LOED
Ja genau das ist gemeint.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, dass nie eine Basis ist (für unendliches , wie es in der Aufgabe steht), bin mir aber nicht sicher.

Gruß MSS
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es sei die Abbildung, die jedes Element von auf die Körpereins abbildet, anders gesagt: Jede Koordinate von ist 1. Jetzt versuche man einmal, als Linearkombination der zu schreiben. Wohl kein Problem für - das läuft ja gerade auf den Vektorraum hinaus. Wie sieht es aber zum Beispiel aus mit oder noch schlimmer ?
IchDerRobot Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ihr,

man unterscheide bitte zwischen dem Raum aller Abbildungen von I nach K und dem Raum aller Abbildungen von I nach K mit endlichem Träger (d.h. nur endlich viele Argumente liefern einen Wert ungleich 0).

Im ersten Raum bilden die Elementarabbildungen wie von Leopold beschrieben keine Basis, im zweiten Raum dagegen schon.

Robot
4c1d Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Wie sieht es aber zum Beispiel aus mit

Warum funktioniert da z.B. nicht ? verwirrt
IchDerRobot Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo 4c1d,

was du hingeschrieben hast, ist keine Linearkombination, sondern ein Grenzwert von Linearkombinationen. Dieser Grenzwert existiert hier (egal welche Metrik man auf K wählt), und ist gleich der von Leopold genannten Funktion 1. Aber wie gesagt, du hast da keine Linearkombination der Elementarfunktionen angegeben.

Robot
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn mit tatsächlich das gemeint ist, dann hat man immerhin eine abzählbar unendliche Basis, da hast du natürlich Recht.
@4c1d
Deine Abbildung ist etwas komisch, soll das aus sein? Wenn ja, woher kommt dann ?
Im allgemeinen VR gibt es ja erstmal nur endliche Summen. Eine Linearkombination ist immer eine endliche Summe, auch bei unendlichen Familien von Vektoren.
Unendliche Summen kann man doch da gar nicht (sinnvoll) erklären, denke ich!? Das gehört dann mMn eher in den Bereich der Analysis.
@IchDerRobot
Woher wissen wir, dass es überhaupt eine Metrik auf dem Körper gibt? Und woher weißt du dann auch noch, dass jede dieser Folgen gegen das Einselement konvergiert (dass sie überhaupt konvergiert)?

Gruß MSS
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Wenn mit tatsächlich das gemeint ist, dann hat man immerhin eine abzählbar unendliche Basis, da hast du natürlich Recht.


Nicht unbedingt. Die Basis ist dann gleichmächtig zu . Und wenn z.B. ist ...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, das meinte ich. Da hing ich jetzt zu sehr an deinem Beispiel. Augenzwinkern

Gruß MSS
4c1d Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Deine Abbildung ist etwas komisch, soll das aus sein? Wenn ja, woher kommt dann ?

Ja, x aus I und e_i wie bei Leopold.

Zitat:
Eine Linearkombination ist immer eine endliche Summe

Zitat:
Original von IchDerRobot
Aber wie gesagt, du hast da keine Linearkombination der Elementarfunktionen angegeben.

Das war der Punkt, danke.
Gravi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IchDerRobot
Hallo ihr,

man unterscheide bitte zwischen dem Raum aller Abbildungen von I nach K und dem Raum aller Abbildungen von I nach K mit endlichem Träger (d.h. nur endlich viele Argumente liefern einen Wert ungleich 0).

Im ersten Raum bilden die Elementarabbildungen wie von Leopold beschrieben keine Basis, im zweiten Raum dagegen schon.

Robot


Ich bin gerade verwirrt. IchDerRobot müsste es nicht so wie ich begonnen habe genau anders rum sein, dass der endlich erzeugte Vektorraum sei? Und was genau bedeutet der Begriff Träger?

Elemente welchen Typs stecken überhaupt in I drin? Das ist doch eine Indexmeng?!? Naja hier in dem Buch von Falkon Lorenz haben die so wie ich das sehe da auch mal Vektoren raus entnommen?!?!?

Naja ich glaube ihre merkt gerade meine Verwirrung, naja es ist ja auch schon spät und ich gehe lieber mal schlafen....
IchDerRobot Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Gravi,

zunächst solltest du genau in Erfahrung bringen, was in deiner Vorlesung mit gemeint ist - ich habe beschrieben, wie ich es kenne. In beiden Fällen ist dieser Vektorraum für eine unendliche Menge I nicht endlich erzeugt, denn (e_i) bildet in beiden Fällen eine linear unabhängige Teilmenge (wenn auch nicht unbedingt eine Basis).

Der Träger einer Funktion besteht aus allen Argumenten, die nicht auf die 0 abgebildet werden, z.B. hat die Funktion
von R nach R
als Träger genau die negativen reellen Zahlen.

Die Menge I ist die Indexmenge, da ist irgendwas drin - was genau, interessiert nicht. Vektoren sind die Elemente von K^(I) - und das sind Funktionen von I nach K. Die Elemente von I sind nur die Argumente, die diese Funktionen haben können.


@Mathespezialschüler
Auf jeder Menge haben wir die triviale Metrik d(x,y) = 1 gdw. x!=y.
Die von 4c1d genannte Funktionenfolge konvergiert punktweise bzgl. jeder Metrik, weil sie an jedem Punkt stationär wird. Sie konvergiert natürlich nicht notwendig gleichmäßig - da war ich etwas ungenau.

Robot
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IchDerRobot
denn (e_i) bildet in beiden Fällen eine linear unabhängige Teilmenge (wenn auch nicht unbedingt eine Basis).

Aha, kannst du mir mal ein Beispiel nennen? verwirrt

Zitat:
Original von IchDerRobot
@Mathespezialschüler
Auf jeder Menge haben wir die triviale Metrik d(x,y) = 1 gdw. x!=y.
Die von 4c1d genannte Funktionenfolge konvergiert punktweise bzgl. jeder Metrik, weil sie an jedem Punkt stationär wird. Sie konvergiert natürlich nicht notwendig gleichmäßig - da war ich etwas ungenau.

Was ist pktw. Konvergenz bzgl. einer Metrik und was glm.?

Gruß MSS
IchDerRobot Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bereits gesagt, bilden die (e_i) keine Basis des Vektorraums aller Funktionen von I nach K, für unendliches I, weil die konstante Funktion 1 nicht von ihnen erzeugt wird.

Wir sprachen von einer "Metrik auf dem Körper" K. Die untersuchten Vektoren sind Funktionen nach K - da sollten die Begriffe punktweise und gleichmäßige Konvergenz klar sein.

Robot
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ich dachte, du hättest nur von gesprochen. Das andere ist klar.
Zur pktw. und glm. Konvergenz: Ich dachte, du würdest mit dem Begriff für allgemeine metrische Räume arbeiten.
Was pktw. und glm. Konvergenz sind, ist mir in natürlich klar. Ich konnte mich nur nicht mehr daran erinnern, dass jeder Körper bewertet werden kann.

Gruß MSS
IchDerRobot Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich arbeite ich mit dem Konvergenzbegriff für beliebige metrische Räume - K und seine Metrik sind ja "fast beliebig".
Für jeden metrischen Raum X hat man die Begriffe punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz für Folgen von Funktionen mit Werten in X.

Robot
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie sind die Begriffe definiert im allgemeinen metrischen Raum?

Gruß MSS
IchDerRobot Auf diesen Beitrag antworten »

Genauso wie für die reellen Zahlen:

Sei X ein metrischer Raum (oder allgemeiner ein topologischer Raum). Die Funktionenfolge heißt punktweise konvergent, wenn für jedes i in I die Folge in X konvergiert.

Wie gleichmäßige Konvergenz in diesem Kontext definiert ist, solltest du dir selbst klarmachen können. Augenzwinkern

Robot
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich war etwas verunsichert. Nachdem ich nochmal nachgesehen habe, ist nun alles klar. Nur das nicht, weshalb ich die ganze Diskussion erst begonnen habe.
Zitat:
Original von 4c1d
Zitat:
Original von Leopold
Wie sieht es aber zum Beispiel aus mit

Warum funktioniert da z.B. nicht ? verwirrt

Das verstehe ich immer noch nicht. Was ist denn bitte ? Und was willst du mit dieser Abbildung erreichen? Sie hilft doch gar nicht bei der Lösung von Leopolds "Frage". Für mich hätte hier nur ,



bzw. ,



mit Sinn gemacht, wobei natürlich klar ist, dass das keine Abbildungen sind und ich sie nur hinschreibe, um meine Gedanken zu verdeutlichen.

@IchderRobot
Wenn ich es richtig verstanden habe, dann konvergiert dMn z.B.



(pktw.) gegen für jede Metrik. Oder ging es doch nur um 4c1d's Abbildung (die ich immer noch nicht kapiert hab)?

Gruß MSS
4c1d Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Was ist denn bitte ?



Zitat:
Und was willst du mit dieser Abbildung erreichen? Sie hilft doch gar nicht bei der Lösung von Leopolds "Frage".

Ja, das tut sie nicht. Aber warum das so ist, war meine Frage gewesen Augenzwinkern Leopold hatte bemerkt, dass die Einsabbildung (I->K) nicht als Linearkombination der e_i schreibbar ist, wenn I unendlich ist. Wenn I endlich (n sei |I|) ist, ist sie das ja als schreibbar, wobei (ich hatte in meinem ersten Posting auch 'fälschlicherweise' (I=IN) e_i statt e_{i_k} geschrieben, das ändert aber nichts am Ansatz).
IchDerRobot Auf diesen Beitrag antworten »

Mir fällt gerade auf, dass die Funktion von 4c1d und deine Funktionenfolge x_k nur definiert ist, wenn I = N gewählt wird.
In diesem Fall ist e_i die Elementarfunktion e_i(x) = 1, falls x = i, sonst 0.

Die Funktion f, die 4c1d angegeben hat, ist der punktweise Grenzwert der von dir angegebenen Funktionenfolge x_k: Schreib dir einfach auf, welchen Wert die Funktion x_k an der Stelle x in I hat, und gehe zum Grenzwert k -> oo über.

Robot
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, die Abbildung und all das, was 4c1d gesagt hat, ist mir jetzt klar.

Zitat:
Original von IchDerRobot
Die Funktion f, die 4c1d angegeben hat, ist der punktweise Grenzwert der von dir angegebenen Funktionenfolge x_k: Schreib dir einfach auf, welchen Wert die Funktion x_k an der Stelle x in I hat, und gehe zum Grenzwert k -> oo über.

Und wie definierst du vorher sauber? Für ist , ansonsten 0 oder?

Gruß MSS
IchDerRobot Auf diesen Beitrag antworten »

Wir beschränken uns auf I = N.

Es ist , also .

Robot
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich ja auch hingeschrieben. Wie definierst du denn jetzt ?

Gruß MSS
IchDerRobot Auf diesen Beitrag antworten »

Aus der von 4c1d gegebenen Definition ergibt sich f(x) = 1, wegen für alle k >= x.

Robot
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ok. Jetzt verstehe ich. Das ist also wirklich nur die komponentenweise Konvergenz (bzgl. einer Metrik in ) und nicht die Konvergenz von bzgl. einer Metrik im . Idee!

Gruß MSS
IchDerRobot Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau: Punktweise Konvergenz, nicht gleichmäßige Konvergenz.
Ich wollte dir gerade eine Übungsaufgabe stellen, die dieses Detail vermutlich auch nicht erhellt hätte. Augenzwinkern

Man kann aber auf K^N eine Metrik angeben, bezüglich der die Konvergenz auch gleichmäßig wäre - aber das führt wirklich zuweit vom Thema weg.

Robot
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