Konvergenz und Grenzwerte

15.11.2005, 15:55

MacRyan

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Konvergenz und Grenzwerte

Hallo,

ich habe ein paar Aufgaben, wo ich nicht weiterkomme. Irgendwie komm ich auf keinen grünen Zweig.

a n = $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+a} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ ) ( $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n \geq \mid a \mid \end{eqnarray*}$ )

an= $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+ \sqrt{n}}-\sqrt{n- \sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

an= $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+ \frac{1}{n}} - 1 \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$

Bin für jeden Tipp dankbar...

MfG

15.11.2005, 16:14

20_Cent

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was hast du dir denn schon dazu gedacht?
Komplettlösung gibts nicht...

Also bei der ersten würde ich in der Wurzel $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ausklammern, dann $\begin{eqnarray*} \sqrt n \end{eqnarray*}$ ausklammern und dann so umformen, das man L'Hospital benutzen kann...
mfG 20

15.11.2005, 16:19

MacRyan

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Ja, stimmt. an sind folgen und ich muss die Grenzwerte bestimmen und zeigen, dass die Folgen konvergent sind.

Ich würde auf jeden Fall mal die Grenzwertsätze anwenden und dann die Grenzwerte ausrechnen.

Beim ersten könnte ich die beiden ja auseinander ziehen und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt {n} * \lim_{n \to \infty} \sqrt{n+a} - \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ schreiben

Dann könnte ich den zweiten limes ausrechnen, erweiterung mit der 3. Binomischen Formel und dann abschätzen.

Nur da komm ich nicht weiter.

MfG
MacRyan

15.11.2005, 16:26

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von MacRyan
Beim ersten könnte ich die beiden ja auseinander ziehen und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt {n} * \lim_{n \to \infty} \sqrt{n+a} - \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ schreiben

Nein!!!
Das kannst du nicht. Das geht nur, falls die Einzelgrenzwerte existieren und das ist hier nicht der Fall. Die Idee mit der dritten binomischen Formel ist aber ganz gut, auch für die anderen beiden Aufgaben.

Gruß MSS

PS: @20Cent
L'Hospital ist doch ein viel zu schweres Geschütz, außerdem haben wir es hier mit Folgen zu tun und nicht mit Funktionen, die auf einer zusammenhängenden Menge definiert sind. Und Folgen sind bekannterweise nicht differenzierbar.

Gruß MSS

15.11.2005, 16:27

20_Cent

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nein, da darfst du nicht die grenzwertsätze anwenden, schließlich sind die beiden teile nicht konvergent...
wie gesagt: L'Hospital, oder vielleicht auch Sandwich... aber da kann ich dir nicht bei helfen.
mfg 20

15.11.2005, 16:36

MacRyan

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okay, dann nur 3. binomische Formel.

Dabei dachte ich ist der Trick mit den Grenzwertsätzen gut...

Bei der 3. binomischen Formel bleibt dann aber $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ unverändert, oder?

Ich sehe dann, dass der hintere Teil ganz klein wird, ist der Grenzwert dann Null?

MfG
Florian

P.S.: Was ist l'hospital? Bin erst im ersten Semester...

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15.11.2005, 16:41

20_Cent

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naja, ich denke das kommt schon im ersten Semester, hatte das schon im Vorkurs Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber wenn du es noch nicht hattest, wirds wohl auch nicht nötig sein, mach es so, wie MSS gesagt hat.

@MSS stimmt... ich neige zu viel zu komplizierten Lösungsansätzen smile

smile

mfG 20

15.11.2005, 16:44

MacRyan

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Vielleicht hatte ich es schon, nur unter anderem namen...

Aber wie kann ich sonst weiter machen?

MfG

15.11.2005, 16:47

20_Cent

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also wie gesagt, 3. Bino.
könntest z.B. mal mit dem fehlenden Term (dem mit +) erweitern.
ich nenner dann $\begin{eqnarray*} \sqrt n \end{eqnarray*}$ ausklammern, kann man dann kürzen, im zähler bino benutzen... vielleicht klappt das.
mfG 20

15.11.2005, 16:51

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von MacRyan
Ich sehe dann, dass der hintere Teil ganz klein wird, ist der Grenzwert dann Null?

Nur weil der hintere Teil gegen 0 geht, muss der Grenzwert nicht 0 sein! Denn der erste Teil geht ja gegen unendlich! Anderes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} a_n=n\cdot \frac{1}{n}=1 \end{eqnarray*}$ .

Es geht zwar $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ gegen 0, aber $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ . In diesem Fall ist der Grenzwert also 1. Deswegen musst du, wie 20Cent sagte, noch $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ ausklammern oder mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ erweitern.

Gruß MSS

15.11.2005, 17:35

MacRyan

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Wie kann ich denn aus $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+a}+\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ die Wurzel vier ausklammern?

MfG
MacRyan

15.11.2005, 17:38

20_Cent

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nicht 4, sondern n
in der wurzel n ausklammern, teilweise die wurzel ziehen, dann wurzel(n) ausklammern.
mfG 20

15.11.2005, 17:38

Mathespezialschüler

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Du sollst nicht $\begin{eqnarray*} \sqrt{4} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ ausklammern.

Gruß MSS

15.11.2005, 17:50

MacRyan

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Wie soll ich auch $\begin{eqnarray*} \sqrt{4} \end{eqnarray*}$ ausklammern, wenn das gar nicht da ist? Meinte natürlich n!

Mit teilweisem Wurzelziehen?

Abe wie? Man nehme an wir haben $\begin{eqnarray*} \sqrt{75} \end{eqnarray*}$ , das heißt $\begin{eqnarray*} \sqrt{25*3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 5\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Aber wie mach ich das bei meinem a und n?

15.11.2005, 17:51

20_Cent

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$\begin{eqnarray*} n+a = n*(1+ \frac {a}{n}) \end{eqnarray*}$

mfG 20

15.11.2005, 18:03

MacRyan

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okay, dann hab ich $\begin{eqnarray*} \frac{a}{\sqrt{1+\frac{a}{n}}+1} \end{eqnarray*}$

und das geht gegen Nul, oder?

Was hab ich dann?

Ist das schon der Grenzwert? Hab ich dann noch zu zeigen, dass das konvergiert?

MfG
MacRyan

15.11.2005, 18:13

Mathespezialschüler

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Woher kommt denn das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ im Zähler? Naja, ist ja nicht so bedeutend.
Ja, das geht gegen 0. Das bedeutet, dass deine Folge auch gegen 0 geht, weil du diesen Term ja nur durch Umformung deiner Folge bekommen hast.

Gruß MSS

15.11.2005, 18:18

MacRyan

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Das a kommt von dem hier:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{n+a}-\sqrt{n})*(\sqrt{n+a}+\sqrt{n}) \end{eqnarray*}$
ausmultiplizieren gibt dann $\begin{eqnarray*} n+a-n \end{eqnarray*}$ übrig bleibt dann $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$

15.11.2005, 18:20

Mathespezialschüler

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Mom, ich hab was völlig falsches gesagt! Der Nenner geht doch nicht gegen 0, sondern gegen 2! Das mit dem $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ stimmt aber.

Gruß MSS

15.11.2005, 18:30

MacRyan

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Gut, aber gegen was konvergiert die Folge denn jetzt? Was ist der Grenzwert? 2? oder doch Null?

FÜr die dritte Aufgabe geht das ja genauso, nur bei der zweiten komme ich mit der 3 . binomischen Formel nicht weiter..., da wird später Null durch irgendwas geteilt und das kann nicht...

MfG
MacRyan

15.11.2005, 18:39

Mathespezialschüler

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Es ist $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{a}{\sqrt{1+\frac{a}{n}}+1} \end{eqnarray*}$ . Der Nenner geht gegen 2. Wogegen geht der gesamte Bruch und damit auch $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ?

Gruß MSS

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