Satz von Rolle - Aufgabe

15.11.2005, 16:08

padori

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Satz von Rolle - Aufgabe

Hallo!
Heute haben wir den "Satz von Rolle" kennen gelernt. Als Hausaufgabe sollen wir uns eine Funktion ausdenken an der wir den Satz nachweisen sollen. Ich habe mir die Funktion f mit f(x)=x² im geschlosenen Intervall [-1;1]
Ich habe den Graphen bereits gezeichnet und die Tangente bei (olO) eingezeichnet das f'(x0)=0 ist. f(a)=f(b) ist auch erfüllt aber wie weise ich sowas nach?
Wäre nett wenn mir hier einer helfen köönte, brauche es bereits zu morgen! Vielen Dank!

15.11.2005, 16:16

Mathespezialschüler

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Du musst doch nur noch $\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \end{eqnarray*}$ zeigen. Liegt da das Problem? Hattet ihr schon Ableitung von Potenzfunktionen? Wenn nicht, musst du es halt über den Differenzenquotienten machen, was in diesem Fall sehr einfach ist.

Gruß MSS

15.11.2005, 17:30

padori

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Wenn ich ehrlich bin, weiß ich nicht genau ob wir solche Ableitungen schon hatten...aber für den Differenzenquotienten brauche ich doch nur die eine Formel, oder?
f(x)-f(x0+h) >

15.11.2005, 17:31

padori

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f(x0)-f(x0+h)/h >gleich 0 ? aber ich weiß auch nciht wie ich f(x0+h) in meine Zeichnung zeichne und feststelle...

15.11.2005, 17:32

Mathespezialschüler

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Für die Differenzierbarkeit einer Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ musst du zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

existiert. Falls dies der Fall ist, ist dann die Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x_0) \end{eqnarray*}$ gleich diesem Grenzwert.
Wie gesagt, hier ist es sehr einfach.

Gruß MSS

15.11.2005, 17:40

padori

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Aber woher erhalte ich die einzelnen Werte zum einsetzen? f(x0) ist ja die Tangente die direkt auf der x-Achse liegt. Jetz hab ich hier aber noch ein h, dieses h muss ich in Verbindung mit einem x0, also x0+h noch in meine Zeichnung einfügen, allerdings weiß ich nicht wie ich das mache weil ich keinen blassen Schimmer habe wie ich das rausbekomme wo das in dem Graphen liegt oder kann ich mir einfach irgendeinen Punkt vom Graphen nehmen und sagen, okay hier ist ein Punkt der auf [a;b] liegt, das ist jetzt mein x0+h?

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15.11.2005, 17:42

Mathespezialschüler

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Bei dir ist $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ , weil du ja die Differenzierbarkeit in 0 untersuchst. $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ist keine feste Zahl und auch nicht von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ abhängig! $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ist variabel und geht gegen 0.

Gruß MSS

15.11.2005, 17:54

padori

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Also ich habe jetzt aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x0+h)-f(x0)}{h} \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} \end{eqnarray*}$

hmm...arbeite jetz das erste mal mit latex hoffe es klappt...

15.11.2005, 17:55

Mathespezialschüler

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Ok, und jetzt einsetzen: Was ist $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ und was $\begin{eqnarray*} f(0+h)=f(h) \end{eqnarray*}$ ?

Gruß MSS

15.11.2005, 17:58

padori

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f(0)=0
und f(0+h) = f(h) weil ja 0+h=h ist oder nicht?!
und f(h)=h² ???

15.11.2005, 18:11

Mathespezialschüler

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Genau und jetzt einsetzen.

Gruß MSS

15.11.2005, 18:13

padori

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Hä? Wie einsetzen? Worein denn einsetzen?

15.11.2005, 18:15

mercany

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In $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x0+h)-f(x0)}{h} \end{eqnarray*}$

Gruß, mercany

15.11.2005, 18:18

padori

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achso ja
da kommt dann bei mir raus:
$\begin{eqnarray*} \frac{f(h)}{h} \end{eqnarray*}$

15.11.2005, 18:21

mercany

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Und $\begin{eqnarray*} f(h) = .... \end{eqnarray*}$

15.11.2005, 18:24

padori

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$\begin{eqnarray*} \frac{f(h)}{h} \end{eqnarray*}$
da man das h gegen das h² kürzen kann erhalte ich h

15.11.2005, 18:25

mercany

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und h ist was?

und wenn du das hast, was wiederum sagt dir das dann?

edit: Warum plötzlich $\begin{eqnarray*} f(h^2) \end{eqnarray*}$ ?

15.11.2005, 18:26

padori

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joa...gute Frage... verwirrt

verwirrt

15.11.2005, 18:30

Mathespezialschüler

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Die Frage "Was ist h?" verstehe ich auch nicht.
@padori
Du hast also

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}h=\text{?} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

15.11.2005, 18:32

mercany

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@MSS

Sorry, sehr schlecht ausgedrückt von mir!
Ich meinte das Selbe wie du... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß, mercany

15.11.2005, 18:34

padori

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ja hab ich raus und jetz weiß ich 1. nicht was hab ich da jetzt überhaupt ausgerechnet? und 2. weiß ich nicht was mir h sagen soll

achso! Idee!

Idee!

da h ja gegen 0 strebt wird h=0 sein ??

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

15.11.2005, 18:41

Mathespezialschüler

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Nein, h wird nicht =0 sein, aber der Limes ist =0. Du hast jetzt die erste Ableitung im Nullpunkt berechnet, also $\begin{eqnarray*} f'(0) \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

15.11.2005, 18:43

padori

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Und jetzt habe ich mit Hilfe der Differentialrechnung nachgewiesen, dass die Funktion differenzierbar und f'(x0)=0 ist?

15.11.2005, 18:45

Mathespezialschüler

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Aber nur für $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ . Du hast bewiesen, dass die Funktion im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist mit der Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

15.11.2005, 18:52

padori

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und das wars?? da ja cool
DANKESCHÖN!!!!
aber jetzt habe ich eine weitere Frage: ich soll jetzt noch den Mittelwertsatz der Differentialrechnung hinzufügen. Der lautet ja:
$\begin{eqnarray*} \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$
muss ich da jetzt einfach nur mein a und b als Intervallgrenze einfügen und ausrechnen? Das wäre dann bei mir:
$\begin{eqnarray*} \frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)} \end{eqnarray*}$
also:
$\begin{eqnarray*} \frac{1+1}{1+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{2} = 1 \end{eqnarray*}$

stimmt das?

15.11.2005, 18:54

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von padori
Der lautet ja:
$\begin{eqnarray*} \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$

Was bitte? Das ist der Mittelwertsatz der Differentialrechnung? Na dann, herzlichen Glückwunsch!
Dir ist schon klar, dass das nur ein Term ist und dass im MWS noch wesentlich mehr steht, richtig? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Deine Rechnung ist falsch. Wie kommst du im Zähler auf $\begin{eqnarray*} 1+1 \end{eqnarray*}$ ?

Gruß MSS

15.11.2005, 18:56

padori

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oh...sorry hab das $\begin{eqnarray*} f'(x0) \end{eqnarray*}$ vergessen jeweils immer davor zu schreiben...
und bei dem Zähler hab ich mich verrechnet...da müsste rein theoretisch 0 rauskommen aber dann kann man das doch nichtmehr rechnen, weil 0/2 geht doch nicht, oder hab ich da mal wieder einen meiner tollen Denkfehlern?

15.11.2005, 19:00

Mathespezialschüler

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Ja, hast du. Im Nenner darf keine 0 stehen, im Zähler schon.

$\begin{eqnarray*} \frac{0}{2}=0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von padori
oh...sorry hab das $\begin{eqnarray*} f'(x0) \end{eqnarray*}$ vergessen jeweils immer davor zu schreiben...

Das reicht ganz sicher nicht aus, da fehlt noch viel mehr!

Gruß MSS

15.11.2005, 19:01

padori

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und da bei beiden Rechnungen 0 rauskommt ist sie differenzierbar und erfüllt die Voraussetzungen für den Satz von Rolle und den Mittelwertsatz der Differentialrechnung?

das ist aber alles an Formel was ich dauz zu stehen habe auf dem Blatt das meine Lehrerin mir gegeben hat

ansonsten habe ich nur noch die verallgemeinerung des MWS d. Dif.rechnung

15.11.2005, 19:03

Mathespezialschüler

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Nein. Dass sie die Voraussetzungen erfüllt, hat damit gar nichts zu tun. Du hast jetzt nur gezeigt, dass für $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ (so habt ihr es wohl genannt) aus dem Mittelwertsatz bei dieser Funktion $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ gewählt werden kann.

Gruß MSS

15.11.2005, 19:09

padori

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ansonsten habe ich nur noch die verallgemeinerung des MWS d. Dif.rechnung

15.11.2005, 19:13

Mathespezialschüler

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Was willst du mir damit sagen? verwirrt

verwirrt

Was ist eigentlich die genaue Aufgabenstellung?

Gruß MSS

15.11.2005, 19:18

padori

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Aufgabe: Nehme ein Funktion die die Voraussetzungen von Satz von Rolle und dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung erfüllt. Weise sie an f nach!
und sagen will ich dir eigentlich gar nichts, aber ich hab hier eben noch ne "Verallgemeinerunsformel" vom MWS gefunden der lautet:
$\begin{eqnarray*} \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$

15.11.2005, 19:21

Mathespezialschüler

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Ok, aber um den verallgemeinerten MWS gehts ja nun in der Aufgabe nicht. Deine Aufgabe haben wir also noch nicht gelöst. Du sollst nämlich aller Voraussetzungen des MWS am Beispiel deiner Funktion beweisen. Da du dir eine beliebige Funktion nehmen darfst, würde ich nicht $\begin{eqnarray*} f:[-1,1]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ nehmen, sondern etwas viel einfacheres.

Zitat:

Original von padori
aber ich hab hier eben noch ne "Verallgemeinerunsformel" vom MWS gefunden der lautet:
$\begin{eqnarray*} \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$

Und wieder hast du den Großteil vergessen ...

Gruß MSS

15.11.2005, 19:24

padori

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wieso eine leichte? gibt es denn eine noch einfachere??
und was wichtiges vergess ich denn da immer? ich schreib hier das nur von meinem ordner ab wie es dort steht

15.11.2005, 19:37

mercany

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Also, das ganze mal etwas vervollständigt.

Seien $\begin{eqnarray*} f: [a,b] \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: [a,b] \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ zwei Funktionen, die im Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ stetig und im Intervall $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ differenzierbar sind.

Gilt aus außerdem für $\begin{eqnarray*} x \in (a,b) \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} g'(x) \ne 0 \end{eqnarray*}$ so gibt es mindestens ein $\begin{eqnarray*} x_0 \in (a,b) \end{eqnarray*}$ , sodas gilt:

(Und jetzt kommt das, was du da geschrieben hast!)

$\begin{eqnarray*} \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(x_0)}{g'(x_0)} \end{eqnarray*}$

Gruß, mercany

15.11.2005, 19:38

Mathespezialschüler

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Versuchs mal mit einer konstanten Funktion.
Was du vergisst? Alle Voraussetzungen!

Gruß MSS

15.11.2005, 19:40

padori

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janee die Voraussetzungen stehen natürlich auch hier aber ich wollte ja jetz eigentlich nur auf die Formel heraus...na gut, aber das wurde mir ja dankenswerter Weise abgenommen-dankeschön!
ne konstante Funktion...f(x)= x wie wärs mit der?

15.11.2005, 19:46

Mathespezialschüler

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Ist die etwa konstant??? verwirrt

verwirrt

Gruß MSS

15.11.2005, 20:06

padori

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keine ahnung ob die konstant ist, was meinst du mit konstant direkt?

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